Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
Особенности учебника
- Логичная структура
Учебник построен таким образом, что темы излагаются последовательно и взаимосвязано. Каждая новая глава опирается на знания, полученные ранее, что облегчает усвоение материала. - Углубленный уровень сложности
Пособие ориентировано на учеников, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Это делает его отличным выбором для тех, кто готовится к олимпиадам, экзаменам или просто хочет углубить свои знания в математике. - Практическая направленность
В учебнике представлено множество задач различной сложности — от простых тренировочных примеров до сложных задач повышенного уровня. Это помогает ученикам развивать логическое мышление и навыки решения нестандартных задач. - Наглядность и примеры
Каждый теоретический раздел сопровождается подробными примерами, которые помогают лучше понять и применить материал на практике. - Задания для самостоятельной работы
В конце каждой главы предлагаются задания для самостоятельного выполнения, что позволяет закрепить изученный материал и проверить свои знания.
Кому подойдет этот учебник?
Данное пособие идеально подходит для учеников 9-го класса, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Также оно будет полезно репетиторам, учителям и родителям, которые хотят помочь своим детям в изучении математики.
Преимущества и недостатки
Плюсы:
- Четкое и доступное изложение сложных тем.
- Большое количество практических заданий.
- Упор на развитие логического мышления.
Минусы:
- Для некоторых учеников материал может показаться слишком сложным.
- Требуется хорошая база знаний для успешного освоения.
В итоге, учебник Макарычева — это отличный инструмент для тех, кто стремится к высоким результатам в изучении алгебры. Его использование требует усердия и регулярной работы, но результат оправдывает усилия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 310 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Найдите целые значения x, удовлетворяющие двойному неравенству:
а) 1 < (x+2)/(5-x) < 6; б) -1 < (3x+1)/(5-2x) < 1.
Найти целые решения:
а)
\[
1 < \frac{x + 2}{5 — x} < 6;
\]
Первое неравенство:
\[
\frac{x + 2}{5 — x} > 1;
\]
\[
\frac{x + 2 — 5 + x}{5 — x} > 0;
\]
\[
\frac{2x — 3}{x — 5} < 0;
\]
\[
1,5 < x < 5;
\]
Второе неравенство:
\[
\frac{x + 2}{5 — x} < 6;
\]
\[
\frac{x + 2 — 30 + 6x}{5 — x} < 0;
\]
\[
\frac{7x — 28}{x — 5} < 0;
\]
\[
x < 4, \quad x > 5;
\]
Ответ:
\(2; 3.\)
б)
\[
-1 < \frac{3x + 1}{5 — 2x} < 1;
\]
Первое неравенство:
\[
\frac{3x + 1}{5 — 2x} > -1;
\]
\[
\frac{3x + 1 + 5 — 2x}{5 — 2x} > 0;
\]
\[
\frac{x + 6}{2x — 5} < 0;
\]
\[
-6 < x < 2,5;
\]
Второе неравенство:
\[
\frac{3x + 1}{5 — 2x} < 1;
\]
\[
\frac{3x + 1 — 5 + 2x}{5 — 2x} < 0;
\]
\[
\frac{5x — 4}{2x — 5} > 0;
\]
\[
x > 2,5;
\]
Ответ:
\(-5; -4; -3; -2; -1; 0.\)
а)
Дано неравенство:
\( 1 < \frac{x + 2}{5 — x} < 6 \)
Решение:
Решим первое неравенство:
\( \frac{x + 2}{5 — x} > 1 \)
\( \frac{x + 2 — 5 + x}{5 — x} > 0 \Rightarrow \frac{2x — 3}{x — 5} < 0 \)
Найдем нули числителя и знаменателя:
\( 2x — 3 = 0 \Rightarrow x = 1.5 \)
\( x — 5 = 0 \Rightarrow x = 5 \) (исключено, так как в знаменателе)
Теперь проверим знаки на промежутках \( (-\infty, 1.5) \), \( (1.5, 5) \), \( (5, +\infty) \):
На промежутке \( (-\infty, 1.5) \), знак положительный.
На промежутке \( (1.5, 5) \), знак отрицательный.
На промежутке \( (5, +\infty) \), знак положительный.
Ответ для первого неравенства: \( 1.5 < x < 5 \).
Решим второе неравенство:
\( \frac{x + 2}{5 — x} < 6 \)
\( \frac{x + 2 — 30 + 6x}{5 — x} < 0 \Rightarrow \frac{7x — 28}{x — 5} < 0 \)
Найдем нули числителя и знаменателя:
\( 7x — 28 = 0 \Rightarrow x = 4 \)
\( x — 5 = 0 \Rightarrow x = 5 \) (исключено, так как в знаменателе)
Теперь проверим знаки на промежутках \( (-\infty, 4) \), \( (4, 5) \), \( (5, +\infty) \):
На промежутке \( (-\infty, 4) \), знак положительный.
На промежутке \( (4, 5) \), знак отрицательный.
На промежутке \( (5, +\infty) \), знак положительный.
Ответ для второго неравенства: \( x < 4 \).
Объединяя оба условия, получаем \( 1.5 < x < 4 \), и целые значения \(x\) — это \( 2 \) и \( 3 \).
Ответ: \( 2; 3 \)
б)
Дано неравенство:
\( 0 < \frac{x}{x + 4} < 2 \)
Решение:
Решим первое неравенство:
\( \frac{x}{x + 4} > 0 \)
\( x > 0, \quad x < -4 \)
Решим второе неравенство:
\( \frac{x}{x + 4} < 2 \)
\( \frac{2x + 8 — x}{x + 4} > 0 \Rightarrow \frac{x + 8}{x + 4} > 0 \)
\( x < -8, \quad x > -4 \)
Ответ для первого неравенства: \( x > 0, \quad x < -4 \).
Ответ для второго неравенства: \( x < -8, \quad x > -4 \).
Ответ: \( (-\infty; -8) \cup (0; +\infty) \)
в)
Дано неравенство:
\( -1 < \frac{x — 8}{x + 1} < 3 \)
Решение:
Решим первое неравенство:
\( \frac{x — 8}{x + 1} > -1 \)
\( \frac{x — 8 + x + 1}{x + 1} > 0 \Rightarrow \frac{2x — 7}{x + 1} > 0 \)
Найдем нули числителя и знаменателя:
\( 2x — 7 = 0 \Rightarrow x = 3.5 \)
\( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \) (исключено, так как в знаменателе)
Проверяем знаки на промежутках \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 3.5) \), \( (3.5, +\infty) \):
На промежутке \( (-\infty, -1) \), знак отрицательный.
На промежутке \( (-1, 3.5) \), знак положительный.
На промежутке \( (3.5, +\infty) \), знак отрицательный.
Ответ для первого неравенства: \( x < -1, \quad x > 3.5 \).
Решим второе неравенство:
\( \frac{x — 8}{x + 1} < 3 \)
\( \frac{3x + 3 — x + 8}{x + 1} > 0 \Rightarrow \frac{2x + 11}{x + 1} > 0 \)
Найдем нули числителя и знаменателя:
\( 2x + 11 = 0 \Rightarrow x = -5.5 \)
\( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \) (исключено, так как в знаменателе)
Проверяем знаки на промежутках \( (-\infty, -5.5) \), \( (-5.5, -1) \), \( (-1, +\infty) \):
На промежутке \( (-\infty, -5.5) \), знак положительный.
На промежутке \( (-5.5, -1) \), знак отрицательный.
На промежутке \( (-1, +\infty) \), знак положительный.
Ответ для второго неравенства: \( x \geq -\frac{2}{3} \).
Ответ: \(-5; -4; -3; -2; -1; 0.\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.