ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 309 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите двойное неравенство:

а) 2 < (3x-8)/(x+1) < 3; б) 0 < x/(x+4) < 2;

в) -1 < (x-8)/(x+1) < 3; г) 1?(4+x)/(3x+2)?2.

Решить неравенство:

а)
\[
2 < \frac{3x — 8}{x + 1} < 3;
\]

Первое неравенство:
\[
\frac{3x — 8}{x + 1} > 2;
\]

\[
\frac{3x — 8 — 2x — 2}{x + 1} > 0;
\]

\[
\frac{x — 10}{x + 1} > 0;
\]

\[
x < -1, \quad x > 10;
\]

Второе неравенство:

\[
\frac{3x — 8}{x + 1} < 3;
\]

\[
\frac{3x + 3 — 3x + 8}{x + 1} > 0;
\]

\[
\frac{11}{x + 1} > 0, \quad x > -1;
\]

Ответ:

\((10; +\infty)\).

б)
\[
0 < \frac{x}{x + 4} < 2;
\]

Первое неравенство:
\[
\frac{x}{x + 4} > 0;
\]

\[
x > 0, \quad x < -4;
\]

Второе неравенство:
\[
\frac{x}{x + 4} < 2;
\]

\[
\frac{2x + 8 — x}{x + 4} > 0;
\]

\[
\frac{x + 8}{x + 4} > 0, \quad x < -8, \quad x > -4;
\]

Ответ:

\((-\infty; -8) \cup (0; +\infty)\).

в)
\[
-1 < \frac{x — 8}{x + 1} < 3;
\]

Первое неравенство:
\[
\frac{x — 8}{x + 1} > -1;
\]

\[
\frac{x — 8 + x + 1}{x + 1} > 0;
\]

\[
\frac{2x — 7}{x + 1} > 0;
\]

\[
x < -1, \quad x > 3,5;
\]

Второе неравенство:
\[
\frac{x — 8}{x + 1} < 3;
\]

\[
\frac{3x + 3 — x + 8}{x + 1} > 0;
\]

\[
\frac{2x + 11}{x + 1} > 0;
\]

\[
x < -5,5, \quad x > -1;
\]

Ответ:

\((-\infty; -5,5) \cup (3,5; +\infty)\).

г)
\[
1 \leq \frac{4 + x}{3x + 2} \leq 2;
\]

Первое неравенство:
\[
\frac{4 + x}{3x + 2} \geq 1;
\]

\[
\frac{3x + 2 — 4 — x}{3x + 2} \leq 0;
\]

\[
\frac{2x — 2}{3x + 2} \leq 0;
\]

\[
-\frac{2}{3} \leq x \leq 1;
\]

Второе неравенство:
\[
\frac{4 + x}{3x + 2} \leq 2;
\]

\[
\frac{6x + 4 — 4 — x}{3x + 2} \geq 0;
\]

\[
\frac{5x}{3x + 2} \geq 0;
\]

\[
x \geq -\frac{2}{3}, \quad x \geq 0;
\]

Ответ:

\([0; 1]\).

а)

Дано неравенство:

\( 2 < \frac{3x — 8}{x + 1} < 3 \)

Решение:

Решим первое неравенство:

\( \frac{3x — 8}{x + 1} > 2 \)

\( 3x — 8 — 2x — 2 > 0 \Rightarrow \frac{x — 10}{x + 1} > 0 \)

Найдем нули числителя и знаменателя:

\( x — 10 = 0 \Rightarrow x = 10 \)

\( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \) (исключено, так как в знаменателе)

Теперь проверим знаки на промежутках \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 10) \), \( (10, +\infty) \):

На промежутке \( (-\infty, -1) \), знак отрицательный.

На промежутке \( (-1, 10) \), знак положительный.

На промежутке \( (10, +\infty) \), знак отрицательный.

Ответ для первого неравенства: \( x < -1, \quad x > 10 \).

Решим второе неравенство:

\( \frac{3x — 8}{x + 1} < 3 \)

\( 3x — 8 — 3(x + 1) + 8 = 0 \Rightarrow \frac{11}{x + 1} > 0 \Rightarrow x > -1 \)

Ответ для второго неравенства: \( x > -1 \).

Ответ: \( (10; +\infty) \)

б)

Дано неравенство:

\( 0 < \frac{x}{x + 4} < 2 \)

Решение:

Решим первое неравенство:

\( \frac{x}{x + 4} > 0 \)

\( x > 0, \quad x < -4 \)

Решим второе неравенство:

\( \frac{x}{x + 4} < 2 \)

\( \frac{2x + 8 — x}{x + 4} > 0 \Rightarrow \frac{x + 8}{x + 4} > 0 \)

\( x < -8, \quad x > -4 \)

Ответ для первого неравенства: \( x > 0, \quad x < -4 \).

Ответ для второго неравенства: \( x < -8, \quad x > -4 \).

Ответ: \( (-\infty; -8) \cup (0; +\infty) \)

в)

Дано неравенство:

\( -1 < \frac{x — 8}{x + 1} < 3 \)

Решение:

Решим первое неравенство:

\( \frac{x — 8}{x + 1} > -1 \)

\( \frac{x — 8 + x + 1}{x + 1} > 0 \Rightarrow \frac{2x — 7}{x + 1} > 0 \)

Найдем нули числителя и знаменателя:

\( 2x — 7 = 0 \Rightarrow x = 3.5 \)

\( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \) (исключено, так как в знаменателе)

Проверяем знаки на промежутках: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 3.5) \), \( (3.5, +\infty) \):

На промежутке \( (-\infty, -1) \), знак отрицательный.

На промежутке \( (-1, 3.5) \), знак положительный.

На промежутке \( (3.5, +\infty) \), знак отрицательный.

Ответ для первого неравенства: \( x < -1, \quad x > 3.5 \).

Решим второе неравенство:

\( \frac{x — 8}{x + 1} < 3 \)

\( \frac{3x + 3 — x + 8}{x + 1} > 0 \Rightarrow \frac{2x + 11}{x + 1} > 0 \)

Найдем нули числителя и знаменателя:

\( 2x + 11 = 0 \Rightarrow x = -5.5 \)

\( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \) (исключено, так как в знаменателе)

Проверяем знаки на промежутках \( (-\infty, -5.5) \), \( (-5.5, -1) \), \( (-1, +\infty) \):

На промежутке \( (-\infty, -5.5) \), знак положительный.

На промежутке \( (-5.5, -1) \), знак отрицательный.

На промежутке \( (-1, +\infty) \), знак положительный.

Ответ для второго неравенства: \( x < -5.5, \quad x > -1 \).

Ответ: \( (-\infty; -5.5) \cup (3.5; +\infty) \)

г)

Дано неравенство:

\( 1 \leq \frac{4 + x}{3x + 2} \leq 2 \)

Решение:

Решим первое неравенство:

\( \frac{4 + x}{3x + 2} \geq 1 \)

\( \frac{3x + 2 — 4 — x}{3x + 2} \leq 0 \Rightarrow \frac{2x — 2}{3x + 2} \leq 0 \)

Найдем нули числителя и знаменателя:

\( 2x — 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \)

\( 3x + 2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{3} \)

Проверяем знаки на промежутках: \( (-\infty, -\frac{2}{3}) \), \( (-\frac{2}{3}, 1) \), \( (1, +\infty) \):

На промежутке \( (-\infty, -\frac{2}{3}) \), знак положительный.

На промежутке \( (-\frac{2}{3}, 1) \), знак отрицательный.

На промежутке \( (1, +\infty) \), знак положительный.

Ответ для первого неравенства: \( -\frac{2}{3} \leq x \leq 1 \).

Решим второе неравенство:

\( \frac{4 + x}{3x + 2} \leq 2 \)

\( \frac{6x + 4 — 4 — x}{3x + 2} \geq 0 \Rightarrow \frac{5x}{3x + 2} \geq 0 \)

Найдем нули числителя и знаменателя:

\( 5x = 0 \Rightarrow x = 0 \)

\( 3x + 2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{3} \)

Проверяем знаки на промежутках: \( (-\infty, -\frac{2}{3}) \), \( (-\frac{2}{3}, 0) \), \( (0, +\infty) \):

На промежутке \( (-\infty, -\frac{2}{3}) \), знак положительный.

На промежутке \( (-\frac{2}{3}, 0) \), знак отрицательный.

На промежутке \( (0, +\infty) \), знак положительный.

Ответ для второго неравенства: \( x \geq -\frac{2}{3} \).

Ответ: \( [0; 1] \)