ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 308 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему неравенств:

а) {(x+5)/(x-4) > (x+3)/(x-1), 3x-7 > x+1};

б) {(6x-1)/(x+4)?2, 5(x-8) > 6x};

в) {(2x+3)/(x+2)?(2x+1)/x, 3(2-x)?7x};

г) {(6x+1)/(3x)?2x/(x+4), 13-12x > x}.

Решить систему неравенств:

а)
\[
\begin{cases}
\frac{x + 5}{x — 4} > \frac{x + 3}{x — 1}, \\
3x — 7 > x + 1
\end{cases}
\]

Второе неравенство:

\[
3x — 7 > x + 1;
\]

\[
2x > 8, \quad x > 4;
\]

Первое неравенство:
\[
\frac{x + 5}{x — 4} > \frac{x + 3}{x — 1};
\]

\[
(x + 5)(x — 1) > (x + 3)(x — 4);
\]

\[
x^2 — x + 5x — 5 > x^2 — 4x + 3x — 12;
\]

\[
5x > -7, \quad x > -1,4;
\]

Ответ:

\((4; +\infty)\).

б)
\[
\begin{cases}
\frac{6x — 1}{x + 4} \leq 2, \\
5(x — 8) > 6x
\end{cases}
\]

Второе неравенство:
\[
5(x — 8) > 6x;
\]

\[
5x — 40 > 6x;
\]

\[
x < -40;
\]

Первое неравенство:
\[
\frac{6x — 1}{x + 4} \leq 2;
\]

\[
6x — 1 \geq 2(x + 4);
\]

\[
6x — 1 \geq 2x + 8;
\]

\[
4x \geq 9, \quad x \geq 2,25;
\]

Ответ:
Решений нет.

в)
\[
\begin{cases}
\frac{2x + 3}{x + 2} \leq \frac{2x + 1}{x}, \\
3(2 — x) \geq 7x
\end{cases}
\]

Второе неравенство:

\[
3(2 — x) \geq 7x;
\]

\[
6 — 3x \geq 7x;
\]

\[
10x \leq 6, \quad x \leq 0,6;
\]

Первое неравенство:

\[
\frac{2x + 3}{x + 2} \leq \frac{2x + 1}{x};
\]

\[
\frac{(2x + 1)(x + 2) — x(2x + 3)}{x(x + 2)} \geq 0;
\]

\[
\frac{2x^2 + 4x + x + 2 — 2x^2 — 3x}{x(x + 2)} \geq 0;
\]

\[
\frac{x(x + 2)}{x(x + 2)} \geq 0;
\]

\[
-2 < x \leq -1, \quad x > 0;
\]

Ответ:

\((-2; -1] \cup (0; 0,6]\).

г)
\[
\begin{cases}
\frac{6x + 1}{3x} \geq \frac{2x}{x + 4}, \\
13 — 12x > x
\end{cases}
\]

Второе неравенство:
\[
13 — 12x > x;
\]

\[
13x < 13, \quad x < 1;
\]

Первое неравенство:
\[
\frac{6x + 1}{3x} \geq \frac{2x}{x + 4};
\]

\[
\frac{(6x + 1)(x + 4) — 2x \cdot 3x}{3x(x + 4)} \geq 0;
\]

\[
\frac{6x^2 + 24x + x + 4 — 6x^2}{3x(x + 4)} \geq 0;
\]

\[
\frac{25x + 4}{x(x + 4)} \geq 0;
\]

\[
-4 < x \leq -\frac{4}{25}, \quad x > 0;
\]

Ответ:

\((-4; -\frac{4}{25}] \cup (0; 1)\).

а)

Дано система неравенств:

\( \begin{cases} \frac{x + 5}{x — 4} > \frac{x + 3}{x — 1}, \\ 3x — 7 > x + 1 \end{cases} \)

Решение:

Решим второе неравенство:

\( 3x — 7 > x + 1 \)

\( 3x — 7 > x + 1 \Rightarrow 2x > 8 \Rightarrow x > 4 \)

Теперь решим первое неравенство:

\( \frac{x + 5}{x — 4} > \frac{x + 3}{x — 1} \)

Приводим к общему знаменателю:

\( (x + 5)(x — 1) > (x + 3)(x — 4) \)

Упростим:

\( x^2 — x + 5x — 5 > x^2 — 4x + 3x — 12 \)

\( 5x > -7 \Rightarrow x > -1.4 \)

Таким образом, для системы:

• Для второго неравенства: \( x > 4 \).
• Для первого неравенства: \( x > -1.4 \).

Объединяя оба условия, получаем \( x > 4 \).

Ответ: \( (4; +\infty) \)

б)

Дано система неравенств:

\( \begin{cases} \frac{6x — 1}{x + 4} \leq 2, \\ 5(x — 8) > 6x \end{cases} \)

Решение:

Решим второе неравенство:

\( 5(x — 8) > 6x \)

\( 5x — 40 > 6x \Rightarrow x < -40 \)

Теперь решим первое неравенство:

\( \frac{6x — 1}{x + 4} \leq 2 \)

Приводим к общему знаменателю:

\( 6x — 1 \geq 2(x + 4) \)

\( 6x — 1 \geq 2x + 8 \Rightarrow 4x \geq 9 \Rightarrow x \geq 2.25 \)

Объединяя оба условия, получаем, что решений нет, так как одно неравенство требует \( x < -40 \), а другое \( x \geq 2.25 \).

Ответ: решений нет.

в)

Дано система неравенств:

\( \begin{cases} \frac{2x + 3}{x + 2} \leq \frac{2x + 1}{x}, \\ 3(2 — x) \geq 7x \end{cases} \)

Решение:

Решим второе неравенство:

\( 3(2 — x) \geq 7x \)

\( 6 — 3x \geq 7x \Rightarrow 10x \leq 6 \Rightarrow x \leq 0.6 \)

Теперь решим первое неравенство:

\( \frac{2x + 3}{x + 2} \leq \frac{2x + 1}{x} \)

Приводим к общему знаменателю:

\( \frac{(2x + 1)(x + 2) — x(2x + 3)}{x(x + 2)} \geq 0 \)

Упрощаем:

\( \frac{x(x + 2)}{x(x + 2)} \geq 0 \)

После упрощений, получаем, что решение: \( -2 < x \leq -1, \quad x > 0 \).

Ответ: \( (-2; -1] \cup (0; 0.6] \)

г)

Дано система неравенств:

\( \begin{cases} \frac{6x + 1}{3x} \geq \frac{2x}{x + 4}, \\ 13 — 12x > x \end{cases} \)

Решение:

Решим второе неравенство:

\( 13 — 12x > x \)

\( 13x < 13 \Rightarrow x < 1 \)

Теперь решим первое неравенство:

\( \frac{6x + 1}{3x} \geq \frac{2x}{x + 4} \)

Приводим к общему знаменателю:

\( \frac{(6x + 1)(x + 4) — 2x \cdot 3x}{3x(x + 4)} \geq 0 \)

Упрощаем:

\( \frac{25x + 4}{x(x + 4)} \geq 0 \)

Находим промежутки для решения:

• \( -4 < x \leq -\frac{4}{25}, \quad x > 0 \)

Ответ: \( (-4; -\frac{4}{25}] \cup (0; 1) \)