ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 307 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства:

а) 6/(x-2)-1/x < 0; в) 2/(x+1)-1/(x-1) < 1;

б) 3/(x+6)-2/(x+1)?0; г) 3/(x+2)-3/(x-2) > 2.

Решить неравенство:

а)
\[
\frac{6}{x — 2} — \frac{1}{x} < 0;
\]

\[
\frac{6x — (x — 2)}{x(x — 2)} < 0;
\]

\[
\frac{5x + 2}{x(x — 2)} < 0;
\]

\[
x < -0,4, \quad 0 < x < 2;
\]

Ответ:

\((- \infty; -0,4) \cup (0; 2)\).

б)
\[
\frac{3}{x + 6} — \frac{2}{x + 1} \geq 0;
\]

\[
\frac{3(x + 1) — 2(x + 6)}{(x + 6)(x + 1)} \geq 0;
\]

\[
\frac{-x — 9}{(x + 6)(x + 1)} \geq 0;
\]

\[
-6 < x \leq -1, \quad x \geq 9;
\]

Ответ:

\((-6; -1] \cup [9; +\infty)\).

в)
\[
\frac{2}{x + 1} — \frac{1}{x — 1} < 1;
\]

\[
\frac{(x^2 — 1) — 2(x — 1) + (x + 1)}{(x + 1)(x — 1)} > 0;
\]

\[
\frac{x^2 — x + 2}{(x + 1)(x — 1)} > 0;
\]

\[
\frac{1}{(x + 1)(x — 1)} > 0;
\]

\[
x < -1, \quad x > 1;
\]

Ответ:

\((- \infty; -1) \cup (1; +\infty)\).

г)
\[
\frac{3}{x + 2} — \frac{3}{x — 2} > 2;
\]

\[
\frac{2(x^2 — 4) — 3(x — 2) + 3(x + 2)}{(x + 2)(x — 2)} < 0;
\]

\[
\frac{2x^2 + 4}{(x + 2)(x — 2)} < 0;
\]

\[
\frac{2(x^2 + 2)}{(x + 2)(x — 2)} < 0;
\]

\[
-2 < x < 2;
\]

Ответ:

\((-2; 2)\).

а)

Дано неравенство:

\( \frac{6}{x — 2} — \frac{1}{x} < 0 \)

Решение:

Приведем выражения в левую часть к общему знаменателю:

\( \frac{6x — (x — 2)}{x(x — 2)} < 0 \)

Упрощаем числитель:

\( \frac{5x + 2}{x(x — 2)} < 0 \)

Теперь находим нули числителя и знаменателя:

• \( 5x + 2 = 0 \Rightarrow x = -0.4 \)
• \( x = 0 \) (в знаменателе, исключено)
• \( x — 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \) (в знаменателе, исключено)

Теперь проверим знаки на промежутках \( (-\infty, -0.4) \), \( (-0.4, 0) \), \( (0, 2) \), \( (2, +\infty) \).

• На промежутке \( (-\infty, -0.4) \), знак положительный.
• На промежутке \( (-0.4, 0) \), знак отрицательный.
• На промежутке \( (0, 2) \), знак положительный.
• На промежутке \( (2, +\infty) \), знак отрицательный.

Ответ: \( (-\infty; -0.4) \cup (0; 2) \)

б)

Дано неравенство:

\( \frac{3}{x + 6} — \frac{2}{x + 1} \geq 0 \)

Решение:

Приведем к общему знаменателю:

\( \frac{3(x + 1) — 2(x + 6)}{(x + 6)(x + 1)} \geq 0 \)

Упростим числитель:

\( \frac{-x — 9}{(x + 6)(x + 1)} \geq 0 \)

Найдем нули числителя и знаменателя:

• \( -x — 9 = 0 \Rightarrow x = -9 \)
• \( x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6 \) (исключено, так как в знаменателе)
• \( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \) (исключено, так как в знаменателе)

Теперь проверим знаки на промежутках \( (-\infty, -6) \), \( (-6, -9) \), \( (-9, -1) \), \( (-1, +\infty) \).

• На промежутке \( (-\infty, -6) \), знак положительный.
• На промежутке \( (-6, -9) \), знак отрицательный.
• На промежутке \( (-9, -1) \), знак положительный.
• На промежутке \( (-1, +\infty) \), знак отрицательный.

Ответ: \( (-6; -1] \cup [9; +\infty) \)

в)

Дано неравенство:

\( \frac{2}{x + 1} — \frac{1}{x — 1} < 1 \)

Решение:

Приведем к общему знаменателю:

\( \frac{(x^2 — 1) — 2(x — 1) + (x + 1)}{(x + 1)(x — 1)} > 0 \)

Упростим числитель:

\( \frac{x^2 — x + 2}{(x + 1)(x — 1)} > 0 \)

Теперь решим неравенство для числителя и знаменателя:

\( \frac{1}{(x + 1)(x — 1)} > 0 \)

Рассмотрим знаки на промежутках \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 1) \), \( (1, +\infty) \).

• На промежутке \( (-\infty, -1) \), знак положительный.
• На промежутке \( (-1, 1) \), знак отрицательный.
• На промежутке \( (1, +\infty) \), знак положительный.

Ответ: \( (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) \)

г)

Дано неравенство:

\( \frac{3}{x + 2} — \frac{3}{x — 2} > 2 \)

Решение:

Приведем к общему знаменателю:

\( \frac{2(x^2 — 4) — 3(x — 2) + 3(x + 2)}{(x + 2)(x — 2)} < 0 \)

Упростим числитель:

\( \frac{2x^2 + 4}{(x + 2)(x — 2)} < 0 \)

Решаем неравенство:

\( \frac{2(x^2 + 2)}{(x + 2)(x — 2)} < 0 \)

Найдём решение для этого неравенства, проверяя знаки на промежутках \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 2) \), \( (2, +\infty) \).

Ответ: \( (-2; 2) \)