ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 306 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях a неравенство верно при любых х;

а) ax/(x^2+1) < 5; б) (ax-3)/(x^2+2) < 1,5?

Верно при любых x:

а)
\[
\frac{ax}{x^2 + 1} < 5;
\]

\[
ax < 5x^2 + 5;
\]

\[
5x^2 — ax + 5 > 0;
\]

\[
D = a^2 — 4 \cdot 5 \cdot 5 < 0;
\]

\[
a^2 — 100 < 0;
\]

\[
(a + 10)(a — 10) < 0;
\]

\[
-10 < a < 10;
\]

Ответ:

\((-10; 10)\).

б)
\[
\frac{ax — 3}{x^2 + 2} < 1,5;
\]

\[
2(ax — 3) < 3(x^2 + 2);
\]

\[
2ax — 6 < 3x^2 + 6;
\]

\[
3x^2 — 2ax + 12 > 0;
\]

\[
D = (2a)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 12 < 0;
\]

\[
4a^2 — 144 < 0;
\]

\[
4(a + 6)(a — 6) < 0;
\]

\[
-6 < a < 6;
\]

Ответ:

\((-6; 6)\).

а)

Дано неравенство:

\( \frac{ax}{x^2 + 1} < 5 \)

Решение:

Умножим обе части неравенства на \(x^2 + 1\), так как это выражение всегда положительно:

\( ax < 5(x^2 + 1) \)

Решаем неравенство:

\( ax < 5x^2 + 5 \)

Перепишем неравенство в более удобной форме:

\( 5x^2 — ax + 5 > 0 \)

Теперь найдем дискриминант для квадратного неравенства:

\( D = a^2 — 4 \cdot 5 \cdot 5 < 0 \)

Вычислим дискриминант:

\( a^2 — 100 < 0 \)

Решаем это неравенство:

\( (a + 10)(a — 10) < 0 \)

Решение для \(a\):

\( -10 < a < 10 \)

Ответ: \( (-10; 10) \)

б)

Дано неравенство:

\( \frac{ax — 3}{x^2 + 2} < 1.5 \)

Решение:

Умножим обе части неравенства на \( x^2 + 2 \), так как это выражение всегда положительно:

\( 2(ax — 3) < 3(x^2 + 2) \)

Решаем это неравенство:

\( 2ax — 6 < 3x^2 + 6 \)

Перепишем неравенство:

\( 3x^2 — 2ax + 12 > 0 \)

Теперь найдем дискриминант для квадратного неравенства:

\( D = (2a)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 12 < 0 \)

Вычислим дискриминант:

\( 4a^2 — 144 < 0 \)

Решаем это неравенство:

\( 4(a + 6)(a — 6) < 0 \)

Решение для \(a\):

\( -6 < a < 6 \)

Ответ: \( (-6; 6) \)