ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 304 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях x имеет смысл выражение:

а) v((x^2+x-6)/(x-8)); б) v((x^3-4x^2+x-4)/(x+1))?

Найти область определения:

а)
\[
\sqrt{\frac{x^2 + x — 6}{x — 8}}
\]

Область определения:
\[
\frac{x^2 + x — 6}{x — 8} \geq 0;
\]

\[D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25,\]

тогда:

\[
x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2;
\]

\[
\frac{(x + 3)(x — 2)}{x — 8} \geq 0;
\]

\[-3 \leq x \leq 2, \quad x > 8;\]

Ответ:

\([-3; 2] \cup (8; +\infty)\).

б)
\[
\sqrt{\frac{x^3 — 4x^2 + x — 4}{x + 1}}
\]

Область определения:
\[
\frac{x^3 — 4x^2 + x — 4}{x + 1} \geq 0;
\]

\[
\frac{x^2(x — 4) + (x — 4)}{x + 1} \geq 0;
\]

\[
\frac{(x^2 + 1)(x — 4)}{x + 1} \geq 0;
\]

\[x < -1, \quad x \geq 4;\]

Ответ:

\((- \infty; -1) \cup [4; +\infty)\).

а)

Дано выражение:

\( \sqrt{\frac{x^2 + x — 6}{x — 8}} \)

Область определения:

Для того чтобы выражение под корнем было неотрицательным, нужно решить неравенство:

\( \frac{x^2 + x — 6}{x — 8} \geq 0 \)

Приводим числитель к виду:

\( x^2 + x — 6 = (x + 3)(x — 2) \)

Теперь решим неравенство:

\( \frac{(x + 3)(x — 2)}{x — 8} \geq 0 \)

Находим нули числителя и знаменателя:

\( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \)

\( x — 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \)

\( x — 8 = 0 \Rightarrow x = 8 \) (исключено, так как в знаменателе)

Рассмотрим знаки на промежутках: \( (-\infty, -3) \), \( (-3, 2) \), \( (2, 8) \), \( (8, +\infty) \). Проверяем знаки на каждом промежутке:

На промежутке \( (-\infty, -3) \), знак положительный.

На промежутке \( (-3, 2) \), знак отрицательный.

На промежутке \( (2, 8) \), знак положительный.

На промежутке \( (8, +\infty) \), знак положительный.

Ответ: \( [-3; 2] \cup (8; +\infty) \)

б)

Дано выражение:

\( \sqrt{\frac{x^3 — 4x^2 + x — 4}{x + 1}} \)

Область определения:

Для того чтобы выражение под корнем было неотрицательным, нужно решить неравенство:

\( \frac{x^3 — 4x^2 + x — 4}{x + 1} \geq 0 \)

Разложим числитель:

\( x^3 — 4x^2 + x — 4 = (x^2 + 1)(x — 4) \)

Теперь решим неравенство:

\( \frac{(x^2 + 1)(x — 4)}{x + 1} \geq 0 \)

Значение \(x^2 + 1 > 0\) всегда положительно, поэтому неравенство зависит только от знаков \(x — 4\) и \(x + 1\).

Найдем нули знаменателя и числителя:

\( x — 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \)

\( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \) (исключено, так как в знаменателе)

Рассмотрим знаки на промежутках: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 4) \), \( (4, +\infty) \). Проверяем знаки на каждом промежутке:

На промежутке \( (-\infty, -1) \), знак положительный.

На промежутке \( (-1, 4) \), знак отрицательный.

На промежутке \( (4, +\infty) \), знак положительный.

Ответ: \( (-\infty; -1) \cup [4; +\infty) \)