ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 303 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) (x^3-2x^2-9x+18)/(x-4) > 0; б) (x^3-x^2+6x-6)/(x^2-16) < 0;

в) (x^4-10x^2+9)/(2x-6) > 0; г) (x^4-3x^2-4)/x < 0;

д) (x^3-2x+1)/(x+8)?0; е) (x^3-5x^2+8x-4)/(x-3)?0.

Решить неравенство:

а)
\[
\frac{x^3 — 2x^2 — 9x + 18}{x — 4} > 0;
\]

\[
\frac{x^2(x — 2) — 9(x — 2)}{x — 4} > 0;
\]

\[
\frac{(x — 2)(x^2 — 9)}{x — 4} > 0;
\]

\[
\frac{(x + 3)(x — 2)(x — 3)}{x — 4} > 0;
\]

\[x < -3, \quad 2 < x < 3, \quad x > 4;\]

Ответ:

\((- \infty; -3) \cup (2; 3) \cup (4; +\infty)\).

б)
\[
\frac{x^3 — x^2 + 6x — 6}{x^2 — 16} < 0;
\]

\[
\frac{x^2(x — 1) + 6(x — 1)}{(x + 4)(x — 4)} < 0;
\]

\[
\frac{(x — 1)(x^2 + 6)}{(x + 4)(x — 4)} < 0;
\]

\[x < -4, \quad 1 < x < 4;\]

Ответ:

\((- \infty; -4) \cup (1; 4)\).

в)
\[
\frac{x^4 — 10x^2 + 9}{2x — 6} > 0;
\]

\[D = 10^2 — 4 \cdot 9 = 100 — 36 = 64, \quad x_1^2 = 1, \quad x_2^2 = 9;\]

\[
\frac{(x^2 — 1)(x^2 — 9)}{x — 3} > 0;
\]

\[
\frac{(x + 3)(x + 1)(x — 1)(x — 3)}{x — 3} > 0;
\]

\[
(x + 3)(x + 1)(x — 1) > 0, \quad x \neq 3;
\]

\[-3 < x < -1, \quad x > 1, \quad x \neq 3;\]

Ответ:

\((-3; -1) \cup (1; 3) \cup (3; +\infty)\).

г)
\[
\frac{x^4 — 3x^2 — 4}{x} < 0;
\]

\[D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \quad x_1 = -1, \quad x_2 = 4;\]

\[
\frac{(x^2 + 1)(x^2 — 4)}{x} < 0;
\]

\[
\frac{(x + 2)(x — 2)}{x} < 0;
\]

\[x < -2, \quad 0 < x < 2;\]

Ответ:

\((- \infty; -2) \cup (0; 2)\).

д)
\[
\frac{x^3 — 2x + 1}{x + 8} \geq 0;
\]

\[
(x — 1)(x^2 + x — 1) \geq 0;
\]

\[D = 1^2 + 4 \cdot 1 = 1 + 4 = 5, \quad x_1 = \frac{-1 — \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2};\]

\[
\frac{(x — 1)(x — \frac{-1 — \sqrt{5}}{2})(x — \frac{-1 + \sqrt{5}}{2})}{x + 8} \geq 0;
\]

\[x < -8, \quad \frac{-1 — \sqrt{5}}{2} \leq x \leq \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, \quad x \geq 1;\]

Ответ:

\((- \infty; -8) \cup \left[\frac{-1 — \sqrt{5}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\right] \cup [1; +\infty)\).

е)
\[
\frac{x^3 — 5x^2 + 8x — 4}{x — 3} \leq 0;
\]

\[
(x — 1)(x^2 — 4x + 4) \leq 0;
\]

\[
(x — 1)(x — 2)^2 \leq 0;
\]

\[
x — 2 = 0, \quad x — 3 = 0;
\]

\[1 \leq x < 3, \quad x = 2;\]

Ответ:

\([1; 3)\)

а)

Дано неравенство:

\( \frac{x^3 — 2x^2 — 9x + 18}{x — 4} > 0 \)

Решение:

Упростим выражение:

\( \frac{(x — 2)(x^2 — 9)}{x — 4} > 0 \)

Теперь разложим числитель:

\( \frac{(x — 2)(x + 3)(x — 3)}{x — 4} > 0 \)

Найдем нули числителя и знаменателя:

\( x = 2 \)

\( x = -3 \)

\( x = 3 \)

\( x = 4 \) (исключено, так как в знаменателе)

Рассмотрим знаки на промежутках: \( (-\infty, -3) \), \( (-3, 2) \), \( (2, 3) \), \( (3, 4) \), \( (4, +\infty) \). Проверим знаки на каждом промежутке:

На промежутке \( (-\infty, -3) \), все множители отрицательные, знак положительный.

На промежутке \( (-3, 2) \), числитель отрицательный, знаменатель отрицательный, знак положительный.

На промежутке \( (2, 3) \), числитель положительный, знаменатель отрицательный, знак отрицательный.

На промежутке \( (3, 4) \), числитель отрицательный, знаменатель отрицательный, знак положительный.

На промежутке \( (4, +\infty) \), все множители положительные, знак положительный.

Ответ: \( (-\infty; -3) \cup (2; 3) \cup (4; +\infty) \)

б)

Дано неравенство:

\( \frac{x^3 — x^2 + 6x — 6}{x^2 — 16} < 0 \)

Решение:

Разложим числитель и знаменатель:

\( \frac{(x — 1)(x^2 + 6)}{(x + 4)(x — 4)} < 0 \)

Теперь находим нули числителя и знаменателя:

\( x — 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \)

\( x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4 \)

\( x — 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \)

Знаки чередуются на промежутках: \( (-\infty, -4) \), \( (-4, 1) \), \( (1, 4) \), \( (4, +\infty) \).

Решаем неравенство:

На промежутке \( (-\infty, -4) \), знак отрицательный.

На промежутке \( (-4, 1) \), знак положительный.

На промежутке \( (1, 4) \), знак отрицательный.

На промежутке \( (4, +\infty) \), знак положительный.

Ответ: \( (-\infty; -4) \cup (1; 4) \)

в)

Дано неравенство:

\( \frac{x^4 — 10x^2 + 9}{2x — 6} > 0 \)

Решение:

Вычислим дискриминант для уравнения \( 10^2 — 4 \cdot 9 = 100 — 36 = 64 \), и находим корни:

\( x_1^2 = 1 \), \( x_2^2 = 9 \)

Решаем уравнение:

\( (x + 3)(x + 1)(x — 1)(x — 3) > 0 \)

Рассматриваем знаки на промежутках: \( (-\infty, -3) \), \( (-3, -1) \), \( (-1, 1) \), \( (1, 3) \), \( (3, +\infty) \).

На промежутке \( (-\infty, -3) \), знак положительный.

На промежутке \( (-3, -1) \), знак отрицательный.

На промежутке \( (-1, 1) \), знак положительный.

На промежутке \( (1, 3) \), знак отрицательный.

На промежутке \( (3, +\infty) \), знак положительный.

Ответ: \( (-3; -1) \cup (1; 3) \cup (3; +\infty) \)

г)

Дано неравенство:

\( \frac{x^4 — 3x^2 — 4}{x} < 0 \)

Решение:

Вычислим дискриминант для уравнения \( 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25 \), и находим корни:

\( x_1 = -1 \), \( x_2 = 4 \)

Решаем неравенство:

\( \frac{(x + 2)(x — 2)}{x} < 0 \)

Знаки числителя и знаменателя чередуются на промежутках: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 0) \), \( (0, 2) \), \( (2, +\infty) \).

На промежутке \( (-\infty, -2) \), знак положительный.

На промежутке \( (-2, 0) \), знак отрицательный.

На промежутке \( (0, 2) \), знак положительный.

На промежутке \( (2, +\infty) \), знак отрицательный.

Ответ: \( (-\infty; -2) \cup (0; 2) \)

д)

Дано неравенство:

\( \frac{x^3 — 2x + 1}{x + 8} \geq 0 \)

Решение:

Разлагаем числитель:

\( (x — 1)(x^2 + x — 1) \geq 0 \)

Найдем корни:

\( x_1 = \frac{-1 — \sqrt{5}}{2} \), \( x_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \)

Рассмотрим знаки на промежутках: \( (-\infty, -8) \), \( \left[ \frac{-1 — \sqrt{5}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \right] \), \( [1, +\infty) \).

Ответ: \( (-\infty; -8) \cup \left[ \frac{-1 — \sqrt{5}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \right] \cup [1; +\infty) \)

е)

Дано неравенство:

\( \frac{x^3 — 5x^2 + 8x — 4}{x — 3} \leq 0 \)

Решение:

Разлагаем числитель:

\( (x — 1)(x — 2)^2 \leq 0 \)

Находим корни:

\( x = 1 \), \( x = 2 \)

Решаем неравенство:

Ответ: \( [1; 3) \)