ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 302 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства:

а) $\frac{3 — 4x}{2 — x} \geq 0$;

б) $\frac{(6 — 8x)^2}{2x + 7} \leq 0$;

в) $\frac{5x — 0,2}{2x + 0,3} \geq 0$;

г) $\frac{(x — 4)(2x + 7)}{x + 8} \geq 0$;

д) $\frac{(1 — x)(3x + 2)}{2x + 3} \leq 0$;

е) $\frac{(6x — 1)(3x — 2)}{x + 4} \leq 0$

Решить неравенство:

а) $\frac{3 — 4x}{2 — x} \geq 0$;
$\frac{4x — 3}{x — 2} \geq 0$;
$x \leq \frac{3}{4},\ x > 2$;
Ответ: $\left(-\infty; \frac{3}{4}\right] \cup (2; +\infty)$.

б) $\frac{(6 — 8x)^2}{2x + 7} \leq 0$;
$2x + 7 < 0,\ 6 — 8x = 0$;
$2x < -7,\ 8x = 6$;
$x < -3,5,\ x = 0,75$;
Ответ: $(-\infty; -3,5) \cup \{0,75\}$.

в) $\frac{5x — 0,2}{2x + 0,3} \geq 0$;
$\frac{25x — 1}{20x + 3} \geq 0$;
$x < -\frac{3}{20},\ x \geq \frac{1}{25}$;
Ответ: $\left(-\infty; -\frac{3}{20}\right) \cup \left[\frac{1}{25}; +\infty\right)$.

г) $\frac{(x — 4)(2x + 7)}{x + 8} \geq 0$;
$-8 < x \leq -3,5,\ x \geq 4$;
Ответ: $(-8; -3,5] \cup [4; +\infty)$.

д) $\frac{(1 — x)(3x + 2)}{2x + 3} \leq 0$;
$\frac{(3x + 2)(x — 1)}{2x + 3} \geq 0$;
$-1\frac{1}{2} < x \leq -\frac{2}{3},\ x \geq 1$;
Ответ: $\left(-1\frac{1}{2}; -\frac{2}{3}\right] \cup [1; +\infty)$.

е) $\frac{(6x — 1)(3x — 2)}{x + 4} \leq 0$;
$x < -4,\ \frac{1}{6} \leq x \leq \frac{2}{3}$;
Ответ: $(-\infty; -4) \cup \left[\frac{1}{6}; \frac{2}{3}\right]$.

а) $\frac{3 — 4x}{2 — x} \geq 0$

Шаг 1: Определение критических точек.

Для того чтобы решить это неравенство, нам нужно найти значения $x$, при которых числитель и знаменатель меняют знак. Критические точки появляются, когда числитель или знаменатель равен нулю.

Числитель $3 — 4x = 0$, решим:

$$3 — 4x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{4}$$

Знаменатель $2 — x = 0$, решим:

$$2 — x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2$$

Таким образом, критические точки: $x = \frac{3}{4}$ и $x = 2$.

Шаг 2: Разбираем знак выражения на интервалах.

Эти две критические точки делят числовую прямую на три интервала:

$(-\infty; \frac{3}{4})$

$(\frac{3}{4}; 2)$

$(2; +\infty)$

Теперь проверим знак выражения на каждом из этих интервалов.

Интервал $(-\infty; \frac{3}{4})$:
Выбираем точку $x = 0$:

• Числитель: $3 — 4(0) = 3$ (положительное).
• Знаменатель: $2 — 0 = 2$ (положительное).
• Дробь: $\frac{3}{2}$ (положительное).

На этом интервале дробь положительная.

Интервал $(\frac{3}{4}; 2)$:
Выбираем точку $x = 1$:

• Числитель: $3 — 4(1) = -1$ (отрицательное).
• Знаменатель: $2 — 1 = 1$ (положительное).
• Дробь: $\frac{-1}{1} = -1$ (отрицательное).

На этом интервале дробь отрицательная.

Интервал $(2; +\infty)$:
Выбираем точку $x = 3$:

• Числитель: $3 — 4(3) = -9$ (отрицательное).
• Знаменатель: $2 — 3 = -1$ (отрицательное).
• Дробь: $\frac{-9}{-1} = 9$ (положительное).

На этом интервале дробь положительная.

Шаг 3: Заключение.

Нам нужно, чтобы дробь была больше или равна нулю, то есть $\geq 0$. Таким образом, выражение будет положительным на интервалах $(-\infty; \frac{3}{4})$ и $(2; +\infty)$, а также равно нулю при $x = \frac{3}{4}$.

Ответ:

$$\left(-\infty; \frac{3}{4}\right] \cup (2; +\infty)$$

б) $\frac{(6 — 8x)^2}{2x + 7} \leq 0$

Шаг 1: Определение критических точек.

Для этого неравенства мы должны найти критические точки, при которых числитель или знаменатель равны нулю.

Числитель $(6 — 8x)^2 = 0$:

$$6 — 8x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{6}{8} = 0.75$$

Поскольку числитель возводится в квадрат, он всегда будет положительным, если $x \neq 0.75$. Поэтому числитель равен нулю только при $x = 0.75$.

Знаменатель $2x + 7 = 0$:

$$2x + 7 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{7}{2} = -3.5$$

Знаменатель не может быть равен нулю, потому что это делает выражение неопределенным.

Шаг 2: Разбираем знак выражения на интервалах.

У нас есть критическая точка $x = 0.75$, которая делает числитель равным нулю, а знаменатель не равен нулю при $x = -3.5$.

Теперь проверим знак выражения на интервалах:

$(-\infty; -3.5)$

$(-3.5; 0.75)$

$(0.75; +\infty)$

Интервал $(-\infty; -3.5)$:
Выбираем точку $x = -4$:

• Числитель: $(6 — 8(-4))^2 = (6 + 32)^2 = 38^2 = 1444$ (положительное).
• Знаменатель: $2(-4) + 7 = -8 + 7 = -1$ (отрицательное).
• Дробь: $\frac{1444}{-1} = -1444$ (отрицательное).

На этом интервале дробь отрицательная.

Интервал $(-3.5; 0.75)$:
Выбираем точку $x = 0$:

• Числитель: $(6 — 8(0))^2 = 6^2 = 36$ (положительное).
• Знаменатель: $2(0) + 7 = 7$ (положительное).
• Дробь: $\frac{36}{7}$ (положительное).

На этом интервале дробь положительная.

Интервал $(0.75; +\infty)$:
Выбираем точку $x = 1$:

• Числитель: $(6 — 8(1))^2 = (-2)^2 = 4$ (положительное).
• Знаменатель: $2(1) + 7 = 2 + 7 = 9$ (положительное).
• Дробь: $\frac{4}{9}$ (положительное).

На этом интервале дробь положительная.

Шаг 3: Заключение.

Нам нужно, чтобы дробь была меньше или равна нулю, то есть $\leq 0$. Таким образом, дробь равна нулю при $x = 0.75$ и отрицательная на интервале $(-\infty; -3.5)$.

Ответ:

$$(-\infty; -3.5) \cup \{0.75\}$$

в) $\frac{5x — 0,2}{2x + 0,3} \geq 0$

Шаг 1: Определение критических точек.

Для этого неравенства найдём значения $x$, при которых числитель и знаменатель меняют знак.

Числитель $5x — 0.2 = 0$:

$$5x = 0.2 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{0.2}{5} = 0.04$$

Знаменатель $2x + 0.3 = 0$:

$$2x = -0.3 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-0.3}{2} = -0.15$$

Шаг 2: Разбираем знак выражения на интервалах.

Теперь рассмотрим интервал, разделенный критическими точками $x = -0.15$ и $x = 0.04$. Разбиваем числовую прямую на три интервала:

$(-\infty; -0.15)$

$(-0.15; 0.04)$

$(0.04; +\infty)$

Интервал $(-\infty; -0.15)$:
Выбираем точку $x = -1$:

• Числитель: $5(-1) — 0.2 = -5 — 0.2 = -5.2$ (отрицательное).
• Знаменатель: $2(-1) + 0.3 = -2 + 0.3 = -1.7$ (отрицательное).
• Дробь: $\frac{-5.2}{-1.7}$ (положительное).

На этом интервале дробь положительная.

Интервал $(-0.15; 0.04)$:
Выбираем точку $x = 0$:

• Числитель: $5(0) — 0.2 = -0.2$ (отрицательное).
• Знаменатель: $2(0) + 0.3 = 0.3$ (положительное).
• Дробь: $\frac{-0.2}{0.3}$ (отрицательное).

На этом интервале дробь отрицательная.

Интервал $(0.04; +\infty)$:
Выбираем точку $x = 1$:

• Числитель: $5(1) — 0.2 = 5 — 0.2 = 4.8$ (положительное).
• Знаменатель: $2(1) + 0.3 = 2 + 0.3 = 2.3$ (положительное).
• Дробь: $\frac{4.8}{2.3}$ (положительное).

На этом интервале дробь положительная.

Шаг 3: Заключение.

Нам нужно, чтобы дробь была больше или равна нулю, то есть $\geq 0$. Таким образом, дробь положительная на интервалах $(-\infty; -0.15)$ и $(0.04; +\infty)$, а также равна нулю при $x = 0.04$.

Ответ:

$$(-\mathrm{\infty };-\frac{3}{20})\cup [\frac{1}{25};+\mathrm{\infty })$$

Продолжаем решение оставшихся пунктов.

г) $\frac{(x — 4)(2x + 7)}{x + 8} \geq 0$

Шаг 1: Определение критических точек.

Для этого неравенства найдем критические точки, при которых числитель или знаменатель равны нулю.

Числитель $(x — 4)(2x + 7) = 0$:

$$x — 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 4$$ $$2x + 7 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{7}{2} = -3.5$$

Знаменатель $x + 8 = 0$:

$$x + 8 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -8$$

Знаменатель не может быть равен нулю, так как это делает выражение неопределенным.

Шаг 2: Разбираем знак выражения на интервалах.

Нам нужно разделить числовую прямую на интервалы, используя критические точки $x = -8, -3.5, 4$. Получаем следующие интервалы:

$(-\infty; -8)$

$(-8; -3.5)$

$(-3.5; 4)$

$(4; +\infty)$

Теперь проверим знак функции на каждом интервале.

Интервал $(-\infty; -8)$:
Выбираем точку $x = -9$:

• Числитель: $(-9 — 4)(2(-9) + 7) = (-13)(-11) = 143$ (положительное).
• Знаменатель: $-9 + 8 = -1$ (отрицательное).
• Дробь: $\frac{143}{-1} = -143$ (отрицательное).

На этом интервале дробь отрицательная.

Интервал $(-8; -3.5)$:
Выбираем точку $x = -6$:

• Числитель: $(-6 — 4)(2(-6) + 7) = (-10)(-5) = 50$ (положительное).
• Знаменатель: $-6 + 8 = 2$ (положительное).
• Дробь: $\frac{50}{2} = 25$ (положительное).

На этом интервале дробь положительная.

Интервал $(-3.5; 4)$:
Выбираем точку $x = 0$:

• Числитель: $(0 — 4)(2(0) + 7) = (-4)(7) = -28$ (отрицательное).
• Знаменатель: $0 + 8 = 8$ (положительное).
• Дробь: $\frac{-28}{8} = -3.5$ (отрицательное).

На этом интервале дробь отрицательная.

Интервал $(4; +\infty)$:
Выбираем точку $x = 5$:

• Числитель: $(5 — 4)(2(5) + 7) = (1)(17) = 17$ (положительное).
• Знаменатель: $5 + 8 = 13$ (положительное).
• Дробь: $\frac{17}{13}$ (положительное).

На этом интервале дробь положительная.

Шаг 3: Заключение.

Нам нужно, чтобы дробь была больше или равна нулю, то есть $\geq 0$. Значение дроби равно нулю при $x = 4$, и дробь положительная на интервалах $(-8; -3.5)$ и $(4; +\infty)$.

Ответ:

$$(-8; -3.5] \cup [4; +\infty)$$

д) $\frac{(1 — x)(3x + 2)}{2x + 3} \leq 0$

Шаг 1: Определение критических точек.

Числитель $(1 — x)(3x + 2) = 0$:

$$1 — x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1$$ $$3x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{2}{3}$$

Знаменатель $2x + 3 = 0$:

$$2x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{3}{2}$$

Знаменатель не может быть равен нулю, так как это делает выражение неопределенным.

Шаг 2: Разбираем знак выражения на интервалах.

Мы имеем критические точки $x = 1$, $x = -\frac{2}{3}$, и $x = -\frac{3}{2}$. Разбиваем числовую прямую на следующие интервалы:

$(-\infty; -\frac{3}{2})$

$(-\frac{3}{2}; -\frac{2}{3})$

$(-\frac{2}{3}; 1)$

$(1; +\infty)$

Теперь проверим знак функции на каждом интервале.

Интервал $(-\infty; -\frac{3}{2})$:
Выбираем точку $x = -2$:

• Числитель: $(1 — (-2))(3(-2) + 2) = (3)(-6 + 2) = 3 \cdot (-4) = -12$ (отрицательное).
• Знаменатель: $2(-2) + 3 = -4 + 3 = -1$ (отрицательное).
• Дробь: $\frac{-12}{-1} = 12$ (положительное).

На этом интервале дробь положительная.

Интервал $(-\frac{3}{2}; -\frac{2}{3})$:
Выбираем точку $x = -1$:

• Числитель: $(1 — (-1))(3(-1) + 2) = (2)(-3 + 2) = 2 \cdot (-1) = -2$ (отрицательное).
• Знаменатель: $2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1$ (положительное).
• Дробь: $\frac{-2}{1} = -2$ (отрицательное).

На этом интервале дробь отрицательная.

Интервал $(-\frac{2}{3}; 1)$:
Выбираем точку $x = 0$:

• Числитель: $(1 — 0)(3(0) + 2) = (1)(2) = 2$ (положительное).
• Знаменатель: $2(0) + 3 = 3$ (положительное).
• Дробь: $\frac{2}{3}$ (положительное).

На этом интервале дробь положительная.

Интервал $(1; +\infty)$:
Выбираем точку $x = 2$:

• Числитель: $(1 — 2)(3(2) + 2) = (-1)(6 + 2) = -1 \cdot 8 = -8$ (отрицательное).
• Знаменатель: $2(2) + 3 = 4 + 3 = 7$ (положительное).
• Дробь: $\frac{-8}{7}$ (отрицательное).

На этом интервале дробь отрицательная.

Шаг 3: Заключение.

Нам нужно, чтобы дробь была меньше или равна нулю, то есть $\leq 0$. Дробь отрицательная на интервале $(-\frac{3}{2}; -\frac{2}{3})$ и равна нулю при $x = 1$.

Ответ:

$$\left(-1\frac{1}{2}; -\frac{2}{3}\right] \cup [1; +\infty)$$

е) $\frac{(6x — 1)(3x — 2)}{x + 4} \leq 0$

Шаг 1: Определение критических точек.

Числитель $(6x — 1)(3x — 2) = 0$:

$$6x — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{6}$$ $$3x — 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2}{3}$$

Знаменатель $x + 4 = 0$:

$$x + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -4$$

Знаменатель не может быть равен нулю.

Шаг 2: Разбираем знак выражения на интервалах.

Получаем критические точки $x = -4, \frac{1}{6}, \frac{2}{3}$. Разбиваем числовую прямую на следующие интервалы:

$(-\infty; -4)$

$(-4; \frac{1}{6})$

$(\frac{1}{6}; \frac{2}{3})$

$(\frac{2}{3}; +\infty)$

Теперь проверим знак функции на каждом интервале.

Интервал $(-\infty; -4)$:
Выбираем точку $x = -5$:

• Числитель: $(6(-5) — 1)(3(-5) — 2) = (-30 — 1)(-15 — 2) = (-31)(-17) = 527$ (положительное).
• Знаменатель: $-5 + 4 = -1$ (отрицательное).
• Дробь: $\frac{527}{-1} = -527$ (отрицательное).

На этом интервале дробь отрицательная.

Интервал $(-4; \frac{1}{6})$:
Выбираем точку $x = 0$:

• Числитель: $(6(0) — 1)(3(0) — 2) = (-1)(-2) = 2$ (положительное).
• Знаменатель: $0 + 4 = 4$ (положительное).
• Дробь: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ (положительное).

На этом интервале дробь положительная.

Интервал $(\frac{1}{6}; \frac{2}{3})$:
Выбираем точку $x = 0.25$:

• Числитель: $(6(0.25) — 1)(3(0.25) — 2) = (1.5 — 1)(0.75 — 2) = (0.5)(-1.25) = -0.625$ (отрицательное).
• Знаменатель: $0.25 + 4 = 4.25$ (положительное).
• Дробь: $\frac{-0.625}{4.25}$ (отрицательное).

На этом интервале дробь отрицательная.

Интервал $(\frac{2}{3}; +\infty)$:
Выбираем точку $x = 1$:

• Числитель: $(6(1) — 1)(3(1) — 2) = (6 — 1)(3 — 2) = 5 \cdot 1 = 5$ (положительное).
• Знаменатель: $1 + 4 = 5$ (положительное).
• Дробь: $\frac{5}{5} = 1$ (положительное).

На этом интервале дробь положительная.

Шаг 3: Заключение.

Нам нужно, чтобы дробь была меньше или равна нулю, то есть $\leq 0$. Дробь отрицательная на интервале $(-\infty; -4)$, равна нулю при $x = -4$ и отрицательная на интервале $(\frac{1}{6}; \frac{2}{3})$.

Ответ:

$$(-\mathrm{\infty };-4)\cup [\frac{1}{6};\frac{2}{3}]$$