ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 301 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $\frac{x+5}{2x+6} > 0$;

б) $\frac{(6-x)(2x-9)}{x+5} > 0$;

в) $\frac{(3-2x)(5+3x)}{3x-6} < 0$;

г) $\frac{(7x+1)(11x+2)}{13x-4} > 0$

Решить неравенство:

а) $\frac{x+5}{2x+6} > 0$;
$\frac{x+5}{x+3} > 0$;
$x < -5,\ x > -3$;
Ответ: $(-\infty; -5) \cup (-3; +\infty)$.

б) $\frac{(6-x)(2x-9)}{x+5} > 0$;
$\frac{(2x-9)(x-6)}{x+5} < 0$;
$x < -5,\ 4,5 < x < 6$;
Ответ: $(-\infty; -5) \cup (4,5; 6)$.

в) $\frac{(3-2x)(5+3x)}{3x-6} < 0$;
$\frac{(3x+5)(2x-3)}{x-2} > 0$;
$-1\frac{2}{3} < x < 1\frac{1}{2},\ x > 2$;
Ответ: $\left(-1\frac{2}{3}; 1\frac{1}{2}\right) \cup (2; +\infty)$.

г) $\frac{(7x+1)(11x+2)}{13x-4} > 0$;
$-\frac{2}{11} < x < \frac{1}{7},\ x > \frac{4}{13}$;
Ответ: $\left(-\frac{2}{11}; \frac{1}{7}\right) \cup \left(\frac{4}{13}; +\infty\right)$.

а) $\frac{x+5}{2x+6} > 0$

Шаг 1: Преобразуем неравенство.

Первоначально представим дробь в более удобной форме:

$$\frac{x+5}{2x+6} > 0$$

Обратите внимание, что $2x + 6$ можно упростить, выделив общий множитель:

$$2x + 6 = 2(x + 3)$$

Тогда неравенство примет вид:

$$\frac{x+5}{2(x + 3)} > 0$$

Теперь рассмотрим знак числителя и знаменателя.

Шаг 2: Находим критические точки.

Для числителя $x + 5 = 0$, получаем:

$$x = -5$$

Для знаменателя $x + 3 = 0$, получаем:

$$x = -3$$

Шаг 3: Разбираем знак выражения на интервалах.

У нас есть две критические точки $x = -5$ и $x = -3$, которые разбивают прямую на три интервала:

$(-\infty; -5)$

$(-5; -3)$

$(-3; +\infty)$

Теперь проверим знак функции на каждом интервале.

Интервал $(-\infty; -5)$:

• Выбираем точку $x = -6$.
• Числитель: $(-6 + 5) = -1$ (отрицательное).
• Знаменатель: $2(-6 + 3) = 2(-3) = -6$ (отрицательное).
• Дробь: $\frac{-1}{-6} = \frac{1}{6}$ (положительное).

Значит, на интервале $(-\infty; -5)$ дробь положительная.

Интервал $(-5; -3)$:

• Выбираем точку $x = -4$.
• Числитель: $(-4 + 5) = 1$ (положительное).
• Знаменатель: $2(-4 + 3) = 2(-1) = -2$ (отрицательное).
• Дробь: $\frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$ (отрицательное).

Значит, на интервале $(-5; -3)$ дробь отрицательная.

Интервал $(-3; +\infty)$:

• Выбираем точку $x = 0$.
• Числитель: $(0 + 5) = 5$ (положительное).
• Знаменатель: $2(0 + 3) = 2(3) = 6$ (положительное).
• Дробь: $\frac{5}{6}$ (положительное).

Значит, на интервале $(-3; +\infty)$ дробь положительная.

Шаг 4: Заключение.

Итак, дробь положительная на интервалах $(-\infty; -5)$ и $(-3; +\infty)$. Критические точки $x = -5$ и $x = -3$ не включаются, так как они делают дробь равной нулю или неопределенной.

Ответ:

$$(-\infty; -5) \cup (-3; +\infty)$$

б) $\frac{(6-x)(2x-9)}{x+5} > 0$

Шаг 1: Находим критические точки.

Для числителя $(6 — x)(2x — 9) = 0$, получаем:

$$x = 6 \quad \text{или} \quad x = \frac{9}{2} = 4.5$$

Для знаменателя $x + 5 = 0$, получаем:

$$x = -5$$

Таким образом, критические точки: $x = -5, 4.5, 6$.

Шаг 2: Разбираем знак функции на интервалах.

Точки $x = -5, 4.5, 6$ делят числовую прямую на следующие интервалы:

$(-\infty; -5)$

$(-5; 4.5)$

$(4.5; 6)$

$(6; +\infty)$

Теперь проверим знак функции на каждом интервале.

Интервал $(-\infty; -5)$:

• Выбираем точку $x = -6$.
• Числитель: $(6 — (-6))(2(-6) — 9) = 12 \cdot (-21) = -252$ (отрицательное).
• Знаменатель: $(-6 + 5) = -1$ (отрицательное).
• Дробь: $\frac{-252}{-1} = 252$ (положительное).

Интервал $(-5; 4.5)$:

• Выбираем точку $x = 0$.
• Числитель: $(6 — 0)(2(0) — 9) = 6 \cdot (-9) = -54$ (отрицательное).
• Знаменатель: $0 + 5 = 5$ (положительное).
• Дробь: $\frac{-54}{5}$ (отрицательное).

Интервал $(4.5; 6)$:

• Выбираем точку $x = 5$.
• Числитель: $(6 — 5)(2(5) — 9) = 1 \cdot 1 = 1$ (положительное).
• Знаменатель: $5 + 5 = 10$ (положительное).
• Дробь: $\frac{1}{10}$ (положительное).

Интервал $(6; +\infty)$:

• Выбираем точку $x = 7$.
• Числитель: $(6 — 7)(2(7) — 9) = (-1) \cdot 5 = -5$ (отрицательное).
• Знаменатель: $7 + 5 = 12$ (положительное).
• Дробь: $\frac{-5}{12}$ (отрицательное).

Шаг 3: Заключение.

Дробь положительная на интервале $(-\infty; -5)$ и $(4.5; 6)$.

Ответ:

$$(-\infty; -5) \cup (4.5; 6)$$

в) $\frac{(3-2x)(5+3x)}{3x-6} < 0$

Шаг 1: Находим критические точки.

Для числителя $(3 — 2x)(5 + 3x) = 0$, получаем:

$$3 — 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{2}$$ $$5 + 3x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{5}{3}$$

Для знаменателя $3x — 6 = 0$, получаем:

$$x = 2$$

Критические точки: $x = -\frac{5}{3}, \frac{3}{2}, 2$.

Шаг 2: Разбираем знак функции на интервалах.

Точки $x = -\frac{5}{3}, \frac{3}{2}, 2$ делят числовую прямую на следующие интервалы:

$(-\infty; -\frac{5}{3})$

$(-\frac{5}{3}; \frac{3}{2})$

$(\frac{3}{2}; 2)$

$(2; +\infty)$

Теперь проверим знак функции на каждом интервале.

Интервал $(-\infty; -\frac{5}{3})$:

• Выбираем точку $x = -2$.
• Числитель: $(3 — 2(-2))(5 + 3(-2)) = (3 + 4)(5 — 6) = 7 \cdot (-1) = -7$ (отрицательное).
• Знаменатель: $3(-2) — 6 = -6 — 6 = -12$ (отрицательное).
• Дробь: $\frac{-7}{-12}$ (положительное).

Интервал $(-\frac{5}{3}; \frac{3}{2})$:

• Выбираем точку $x = 0$.
• Числитель: $(3 — 2(0))(5 + 3(0)) = 3 \cdot 5 = 15$ (положительное).
• Знаменатель: $3(0) — 6 = -6$ (отрицательное).
• Дробь: $\frac{15}{-6}$ (отрицательное).

Интервал $(\frac{3}{2}; 2)$:

• Выбираем точку $x = 1.75$.
• Числитель: $(3 — 2(1.75))(5 + 3(1.75)) = (3 — 3.5)(5 + 5.25) = (-0.5)(10.25) = -5.125$ (отрицательное).
• Знаменатель: $3(1.75) — 6 = 5.25 — 6 = -0.75$ (отрицательное).
• Дробь: $\frac{-5.125}{-0.75}$ (положительное).

Интервал $(2; +\infty)$:

• Выбираем точку $x = 3$.
• Числитель: $(3 — 2(3))(5 + 3(3)) = (3 — 6)(5 + 9) = (-3)(14) = -42$ (отрицательное).
• Знаменатель: $3(3) — 6 = 9 — 6 = 3$ (положительное).
• Дробь: $\frac{-42}{3}$ (отрицательное).

Шаг 3: Заключение.

Дробь отрицательная на интервале $(-\frac{5}{3}; \frac{3}{2})$ и положительная на интервале $(2; +\infty)$.

Ответ:

$$(-\frac{5}{3}; \frac{3}{2}) \cup (2; +\infty)$$

г) $\frac{(7x+1)(11x+2)}{13x-4} > 0$

Шаг 1: Находим критические точки.

Для числителя $(7x + 1)(11x + 2) = 0$, получаем:

$$7x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{1}{7}$$ $$11x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{2}{11}$$

Для знаменателя $13x — 4 = 0$, получаем:

$$x = \frac{4}{13}$$

Таким образом, критические точки: $x = -\frac{1}{7}, -\frac{2}{11}, \frac{4}{13}$.

Шаг 2: Разбираем знак функции на интервалах.

Точки $x = -\frac{1}{7}, -\frac{2}{11}, \frac{4}{13}$ делят числовую прямую на следующие интервалы:

$(-\infty; -\frac{2}{11})$

$(-\frac{2}{11}; -\frac{1}{7})$

$(-\frac{1}{7}; \frac{4}{13})$

$(\frac{4}{13}; +\infty)$

Теперь проверим знак функции на каждом интервале.

Интервал $(-\infty; -\frac{2}{11})$:

• Выбираем точку $x = -1$.
• Числитель: $(7(-1) + 1)(11(-1) + 2) = (-7 + 1)(-11 + 2) = (-6)(-9) = 54$ (положительное).
• Знаменатель: $13(-1) — 4 = -13 — 4 = -17$ (отрицательное).
• Дробь: $\frac{54}{-17}$ (отрицательное).

Интервал $(-\frac{2}{11}; -\frac{1}{7})$:

• Выбираем точку $x = -\frac{1}{10}$.
• Числитель: $(7(-\frac{1}{10}) + 1)(11(-\frac{1}{10}) + 2) = (-\frac{7}{10} + 1)(-\frac{11}{10} + 2) = (\frac{3}{10})(\frac{9}{10}) = \frac{27}{100}$ (положительное).
• Знаменатель: $13(-\frac{1}{10}) — 4 = -\frac{13}{10} — 4 = -\frac{53}{10}$ (отрицательное).
• Дробь: $\frac{\frac{27}{100}}{-\frac{53}{10}}$ (отрицательное).

Интервал $(-\frac{1}{7}; \frac{4}{13})$:

• Выбираем точку $x = 0$.
• Числитель: $(7(0) + 1)(11(0) + 2) = 1 \cdot 2 = 2$ (положительное).
• Знаменатель: $13(0) — 4 = -4$ (отрицательное).
• Дробь: $\frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$ (отрицательное).

Интервал $(\frac{4}{13}; +\infty)$:

• Выбираем точку $x = 1$.
• Числитель: $(7(1) + 1)(11(1) + 2) = (7 + 1)(11 + 2) = 8 \cdot 13 = 104$ (положительное).
• Знаменатель: $13(1) — 4 = 13 — 4 = 9$ (положительное).
• Дробь: $\frac{104}{9}$ (положительное).

Шаг 3: Заключение.

Дробь положительная на интервалах $(-\frac{2}{11}; -\frac{1}{7})$ и $(\frac{4}{13}; +\infty)$.

Ответ:

$$(-\frac{2}{11};\frac{1}{7})\cup (\frac{4}{13};+\mathrm{\infty })$$