Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
Особенности учебника
- Логичная структура
Учебник построен таким образом, что темы излагаются последовательно и взаимосвязано. Каждая новая глава опирается на знания, полученные ранее, что облегчает усвоение материала. - Углубленный уровень сложности
Пособие ориентировано на учеников, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Это делает его отличным выбором для тех, кто готовится к олимпиадам, экзаменам или просто хочет углубить свои знания в математике. - Практическая направленность
В учебнике представлено множество задач различной сложности — от простых тренировочных примеров до сложных задач повышенного уровня. Это помогает ученикам развивать логическое мышление и навыки решения нестандартных задач. - Наглядность и примеры
Каждый теоретический раздел сопровождается подробными примерами, которые помогают лучше понять и применить материал на практике. - Задания для самостоятельной работы
В конце каждой главы предлагаются задания для самостоятельного выполнения, что позволяет закрепить изученный материал и проверить свои знания.
Кому подойдет этот учебник?
Данное пособие идеально подходит для учеников 9-го класса, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Также оно будет полезно репетиторам, учителям и родителям, которые хотят помочь своим детям в изучении математики.
Преимущества и недостатки
Плюсы:
- Четкое и доступное изложение сложных тем.
- Большое количество практических заданий.
- Упор на развитие логического мышления.
Минусы:
- Для некоторых учеников материал может показаться слишком сложным.
- Требуется хорошая база знаний для успешного освоения.
В итоге, учебник Макарычева — это отличный инструмент для тех, кто стремится к высоким результатам в изучении алгебры. Его использование требует усердия и регулярной работы, но результат оправдывает усилия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 299 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Найдите сумму и произведение корней биквадратного уравнения:
а) x^4-14x^2+45=0; б) x^4-2x^2-63=0.
Сумма и произведение корней:
а)
\[
x^4 — 14x^2 + 45 = 0;
\]
\[
D = 14^2 — 4 \cdot 45 = 196 — 180 = 16,
\]
тогда:
\[
x_1^2 = \frac{14 — 4}{2} = 10 \div 2 = 5, \quad x_2^2 = \frac{14 + 4}{2} = 9;
\]
\[
x_1 = \pm \sqrt{5}, \quad x_2 = \pm \sqrt{9} = \pm 3;
\]
Ответ:
\(0; 45.\)
б)
\[
x^4 — 2x^2 — 63 = 0;
\]
\[
D = 2^2 + 4 \cdot 63 = 4 + 252 = 256,
\]
тогда:
\[
x_1^2 = \frac{-2 — 16}{2} = -7, \quad x_2^2 = \frac{-2 + 16}{2} = 9;
\]
\[
x_1 \notin \mathbb{R}, \quad x_2 = \pm \sqrt{9} = \pm 3;
\]
Ответ
\(0; -9.\)
а)
Дано уравнение:
\( x^4 — 14x^2 + 45 = 0 \)
Решение:
Используем замену: \( y = x^2 \), и у нас получается уравнение второй степени:
\( y^2 — 14y + 45 = 0 \)
Вычислим дискриминант:
\( D = (-14)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 45 = 196 — 180 = 16 \)
Теперь найдем корни:
\( y_1 = \frac{14 — 4}{2} = 10 \div 2 = 5 \), \( y_2 = \frac{14 + 4}{2} = 9 \)
Так как \( y = x^2 \), подставляем значения \( y_1 \) и \( y_2 \):
\( x_1 = \pm \sqrt{5} \), \( x_2 = \pm \sqrt{9} = \pm 3 \)
Сумма корней:
Сумма корней \(x_1 + x_2\) будет равна:
\( \sqrt{5} + (-\sqrt{5}) + 3 + (-3) = 0 \)
Произведение корней:
Произведение корней \( x_1 \cdot x_2 \) будет равно:
\( \sqrt{5} \cdot (-\sqrt{5}) \cdot 3 \cdot (-3) = 5 \cdot 9 = 45 \)
Ответ: \( 0; 45 \)
б)
Дано уравнение:
\( x^4 — 2x^2 — 63 = 0 \)
Решение:
Используем замену: \( y = x^2 \), и у нас получается уравнение второй степени:
\( y^2 — 2y — 63 = 0 \)
Вычислим дискриминант:
\( D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 4 + 252 = 256 \)
Теперь найдем корни:
\( y_1 = \frac{-2 — 16}{2} = -7 \), \( y_2 = \frac{-2 + 16}{2} = 9 \)
Так как \( y_1 = -7 \) не имеет решений в области действительных чисел (квадрат числа не может быть отрицательным), то исключаем его. Для \( y_2 = 9 \) получаем:
\( x_2 = \pm \sqrt{9} = \pm 3 \)
Сумма корней:
Сумма корней \( x_1 + x_2 \) будет равна:
\( 0 \)
Произведение корней:
Произведение корней \( x_1 \cdot x_2 \) будет равно:
\( 0 \cdot 9 = -9 \)
Ответ: \( 0; -9 \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.