ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 299 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите сумму и произведение корней биквадратного уравнения:

а) x^4-14x^2+45=0; б) x^4-2x^2-63=0.

Сумма и произведение корней:

а)
\[
x^4 — 14x^2 + 45 = 0;
\]

\[
D = 14^2 — 4 \cdot 45 = 196 — 180 = 16,
\]

тогда:
\[
x_1^2 = \frac{14 — 4}{2} = 10 \div 2 = 5, \quad x_2^2 = \frac{14 + 4}{2} = 9;
\]

\[
x_1 = \pm \sqrt{5}, \quad x_2 = \pm \sqrt{9} = \pm 3;
\]

Ответ:

\(0; 45.\)

б)
\[
x^4 — 2x^2 — 63 = 0;
\]

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 63 = 4 + 252 = 256,
\]

тогда:
\[
x_1^2 = \frac{-2 — 16}{2} = -7, \quad x_2^2 = \frac{-2 + 16}{2} = 9;
\]

\[
x_1 \notin \mathbb{R}, \quad x_2 = \pm \sqrt{9} = \pm 3;
\]

Ответ
\(0; -9.\)

а)

Дано уравнение:

\( x^4 — 14x^2 + 45 = 0 \)

Решение:

Используем замену: \( y = x^2 \), и у нас получается уравнение второй степени:

\( y^2 — 14y + 45 = 0 \)

Вычислим дискриминант:

\( D = (-14)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 45 = 196 — 180 = 16 \)

Теперь найдем корни:

\( y_1 = \frac{14 — 4}{2} = 10 \div 2 = 5 \), \( y_2 = \frac{14 + 4}{2} = 9 \)

Так как \( y = x^2 \), подставляем значения \( y_1 \) и \( y_2 \):

\( x_1 = \pm \sqrt{5} \), \( x_2 = \pm \sqrt{9} = \pm 3 \)

Сумма корней:

Сумма корней \(x_1 + x_2\) будет равна:

\( \sqrt{5} + (-\sqrt{5}) + 3 + (-3) = 0 \)

Произведение корней:

Произведение корней \( x_1 \cdot x_2 \) будет равно:

\( \sqrt{5} \cdot (-\sqrt{5}) \cdot 3 \cdot (-3) = 5 \cdot 9 = 45 \)

Ответ: \( 0; 45 \)

б)

Дано уравнение:

\( x^4 — 2x^2 — 63 = 0 \)

Решение:

Используем замену: \( y = x^2 \), и у нас получается уравнение второй степени:

\( y^2 — 2y — 63 = 0 \)

Вычислим дискриминант:

\( D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 4 + 252 = 256 \)

Теперь найдем корни:

\( y_1 = \frac{-2 — 16}{2} = -7 \), \( y_2 = \frac{-2 + 16}{2} = 9 \)

Так как \( y_1 = -7 \) не имеет решений в области действительных чисел (квадрат числа не может быть отрицательным), то исключаем его. Для \( y_2 = 9 \) получаем:

\( x_2 = \pm \sqrt{9} = \pm 3 \)

Сумма корней:

Сумма корней \( x_1 + x_2 \) будет равна:

\( 0 \)

Произведение корней:

Произведение корней \( x_1 \cdot x_2 \) будет равно:

\( 0 \cdot 9 = -9 \)

Ответ: \( 0; -9 \)