ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 296 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Выберите функции, которые сохраняют знак на всей области определения:

а) y=2x^2+1; в) y=vx+6; д) y=6x+4; ж) y=-x^2-4;

б) y=v(x+3); г) y=-vx; е) y=-15x^2; з) y=5/(x^2+6)?

Функция сохраняет знак

a)
\[
y = 2x^2 + 1;
\]

Проверка:
\[
x^2 \geq 0, \quad 2x^2 \geq 0;
\]

\[
2x^2 + 1 \geq 1;
\]

Ответ: да.

б)
\[
y = \sqrt{x + 3};
\]

Проверка:
\[
\sqrt{x + 3} \geq 0;
\]

Ответ: нет.

в)
\[
y = \sqrt{x + 6};
\]

Проверка:
\[
\sqrt{x} \geq 0;
\]

\[
\sqrt{x} + 6 \geq 6;
\]

Ответ: да.

г)
\[
y = -\sqrt{x};
\]

Проверка:
\[
-\sqrt{x} \leq 0;
\]

Ответ: нет.

д)
\[
y = 6x + 4;
\]

Проверка:
\[
6x + 4 \in \mathbb{R};
\]

Ответ: нет.

е)
\[
y = -15x^2;
\]

Проверка:
\[
-x^2 \leq 0;
\]

\[
-15x^2 \leq 0;
\]

Ответ: нет.

ж)
\[
y = -x^2 — 4;
\]

Проверка:
\[
x^2 \geq 0, \quad -x^2 \leq 0;
\]

\[
-x^2 — 4 \leq -4;
\]

Ответ: да.

з)
\[
y = \frac{5}{x^2 + 6};
\]

Проверка:
\[
x^2 \geq 0;
\]

\[
x^2 + 6 \geq 6;
\]

\[
0 < \frac{5}{x^2 + 6} \leq \frac{5}{6};
\]

Ответ: да.

а)

Дано выражение:

\( y = 2x^2 + 1 \)

Проверка:

Мы должны убедиться, что функция сохраняет знак. Для этого нужно проверить, что \(y \geq 0\) для всех значений \(x\), так как функция должна быть неотрицательной (не может быть отрицательной). Начнем с анализа выражения:

\( x^2 \geq 0 \), так как квадрат любого числа всегда неотрицателен.

\( 2x^2 \geq 0 \), так как умножение на положительное число 2 не изменяет знак.

\( 2x^2 + 1 \geq 1 \), так как добавление 1 к неотрицательному числу всегда дает число больше или равно 1.

Ответ: да. Функция всегда неотрицательна, следовательно, она сохраняет знак.

б)

Дано выражение:

\( y = \sqrt{x + 3} \)

Проверка:

Для того чтобы функция сохраняла знак, выражение под корнем должно быть неотрицательным, так как квадратный корень из отрицательного числа не существует в области действительных чисел. Таким образом, проверим, что:

\( x + 3 \geq 0 \), это означает, что \( x \geq -3 \).

Так как корень из числа всегда неотрицателен, то получаем:

\( \sqrt{x + 3} \geq 0 \)

Ответ: нет, функция не сохраняет знак, так как она может принимать только неотрицательные значения, и не всегда будет равна нулю или положительному числу.

в)

Дано выражение:

\( y = \sqrt{x + 6} \)

Проверка:

Аналогично предыдущему случаю, функция будет сохранять знак, если выражение под квадратным корнем неотрицательно:

\( x \geq -6 \), так как \( x + 6 \geq 0 \).

Теперь проверим, что:

\( \sqrt{x + 6} \geq 0 \), так как квадратный корень всегда неотрицателен.

Добавление 6 делает результат обязательно больше или равно 6, поэтому:

\( \sqrt{x + 6} + 6 \geq 6 \)

Ответ: да. Функция сохраняет знак, так как она всегда больше или равна 6.

г)

Дано выражение:

\( y = -\sqrt{x} \)

Проверка:

Здесь выражение под корнем также должно быть неотрицательным, а затем его знак изменяется на противоположный из-за минуса. Для этого:

\( \sqrt{x} \geq 0 \), так как корень из числа всегда неотрицателен.

Затем, так как перед корнем стоит минус, мы получаем:

\( -\sqrt{x} \leq 0 \), так как минус делает значение всегда неположительным.

Ответ: нет. Функция не сохраняет знак, так как она всегда меньше или равно нулю.

д)

Дано выражение:

\( y = 6x + 4 \)

Проверка:

Это линейная функция, которая может принимать все значения на прямой. Важно отметить, что она может быть как положительной, так и отрицательной, в зависимости от значения \(x\). Таким образом:

\( 6x + 4 \in \mathbb{R} \), и эта функция не сохраняет знак, так как она может быть как положительной, так и отрицательной в зависимости от \(x\).

Ответ: нет. Функция не сохраняет знак, так как значения могут быть как положительными, так и отрицательными.

е)

Дано выражение:

\( y = -15x^2 \)

Проверка:

Квадрат любого числа всегда неотрицателен, следовательно, \( x^2 \geq 0 \). Умножив на -15, мы получаем:

\( -15x^2 \leq 0 \), так как минус перед квадратом делает результат неположительным.

Ответ: нет. Функция не сохраняет знак, так как она всегда меньше или равно нулю.

ж)

Дано выражение:

\( y = -x^2 — 4 \)

Проверка:

Квадрат любого числа всегда неотрицателен, и потому \( x^2 \geq 0 \). Умножив на -1, мы получаем:

\( -x^2 \leq 0 \), так как минус делает результат неположительным.

Добавление -4 делает результат всегда меньше или равно -4:

\( -x^2 — 4 \leq -4 \)

Ответ: да. Функция сохраняет знак, так как она всегда меньше или равна -4.

з)

Дано выражение:

\( y = \frac{5}{x^2 + 6} \)

Проверка:

Здесь выражение под знаменателем всегда положительно, так как \(x^2 \geq 0\), следовательно, \(x^2 + 6 \geq 6\). Мы получаем, что:

\( 0 < \frac{5}{x^2 + 6} \leq \frac{5}{6} \)

Ответ: да. Функция сохраняет знак, так как результат всегда положительный и ограничен сверху значением \( \frac{5}{6} \).