ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 295 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

а) $y=\sqrt{(2-x)(x+19)}$

б) $y=\sqrt{(x^2-x)(x^2+7)}$

в) $y=\sqrt{x^3-2x^2+6x-12}$

г) $y=\sqrt{x^3-5x^2+7x-3}$

Найти область определения

a)
\[
y = \sqrt{\frac{(2 — x)(x + 19)}{}}
\]

Область определения:
\[
(2 — x)(x + 19) \geq 0;
\]

\[
(x +
19)(x — 2) \leq 0;
\]

Корни: \(x = -19\), \(x = 2\).
Знаки чередуются, значит:

\[
-19 \leq x \leq 2.
\]

Ответ:

\[
D(x) = [-19; 2].
\]

б)
\[
y = \sqrt{\frac{(x^2 — x)(x^2 + 7)}{}}
\]

Область определения:
\[
(x^2 — x)(x^2 + 7) \geq 0;
\]
Разложим:

\[
x(x — 1)(x^2 + 7) \geq 0.
\]

Так как \(x^2 + 7 > 0\) всегда, решаем:

\[
x(x — 1) \geq 0.
\]

Корни: \(x = 0\), \(x = 1\).
Знаки чередуются, значит:

\[
x \leq 0 \quad \text{или} \quad x \geq 1.
\]

Ответ:
\[
D(x) = (-\infty; 0] \cup [1; +\infty).
\]

в)
\[
y = \sqrt{x^3 — 2x^2 + 6x — 12}.
\]

Область определения:

\[
x^3 — 2x^2 + 6x — 12 \geq 0;
\]
Разложим:

\[
x^2(x — 2) + 6(x — 2) \geq 0;
\]

\[
(x^2 + 6)(x — 2) \geq 0.
\]

Так как \(x^2 + 6 > 0\) всегда, решаем:

\[
x — 2 \geq 0;
\]

\[
x \geq 2.
\]

Ответ:

\[
D(x) = [2; +\infty).
\]

г)
\[
y = \sqrt{x^3 — 5x^2 + 7x — 3}.
\]

Область определения:

\[
x^3 — 5x^2 + 7x — 3 \geq 0.
\]
Рассмотрим разложение:

\[
(x — 1)(x^2 — 4x + 3) \geq 0.
\]

Находим корни квадратного уравнения \(x^2 — 4x + 3 = 0\):

\[
D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4.
\]

\[
x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3.
\]

Итак, разложение:

\[
(x — 1)^2(x — 3) \geq 0.
\]

Учитывая кратность корня \(x = 1\) (вторая степень), знак выражения не меняется. Решение:

\[
x \geq 3 \quad \text{или} \quad x = 1.
\]

Ответ:

\[
D(x) = \{1\} \cup [3; +\infty).
\]

а) $y = \sqrt{(2 — x)(x + 19)}$

Шаг 1: Условие существования корня

Подкоренное выражение должно быть неотрицательно:

$$(2 — x)(x + 19) \geq 0$$

Шаг 2: Преобразуем

Удобнее так:

$$(x + 19)(2 — x) \geq 0$$

Можно переписать:

$$(x + 19)(-x + 2) \geq 0$$

Шаг 3: Метод интервалов

Нули:

• $x = -19$
• $x = 2$

Интервалы:

• $(-\infty;\ -19)$
• $(-19;\ 2)$
• $(2;\ +\infty)$

Подставим тестовые точки и определим знак:

Шаг 4: Берём знак $\geq 0$

Значения допустимы, когда знак положительный или 0, то есть:

• на интервале $(-19; 2)$
• в точках $x = -19$ и $x = 2$ — подкоренное выражение обнуляется, но √0 существует.

Ответ:

$$\boxed{D(x) = [-19;\ 2]}$$

б) $y = \sqrt{(x^2 — x)(x^2 + 7)}$

Шаг 1: Подкоренное выражение

$$(x^2 — x)(x^2 + 7) \geq 0$$

Разложим:

$$x(x — 1)(x^2 + 7) \geq 0$$

Шаг 2: Анализ множителей

• $x^2 + 7 > 0$ при любом $x$, т.к. всегда положительно.
• Значит, нужно решить:

$$x(x — 1) \geq 0$$

Шаг 3: Метод интервалов

Нули: $x = 0$, $x = 1$

Интервалы:

• $(-\infty; 0)$
• $(0; 1)$
• $(1; +\infty)$

Тестовые точки:

Шаг 4: Учитываем знак $\geq 0$

Подходит:

• $x \leq 0$
• $x \geq 1$

Ответ:

$$\boxed{D(x) = (-\infty;\ 0] \cup [1;\ +\infty)}$$

в) $y = \sqrt{x^3 — 2x^2 + 6x — 12}$

Шаг 1: Подкоренное выражение

$$x^3 — 2x^2 + 6x — 12 \geq 0$$

Шаг 2: Сгруппируем члены

Пробуем разложение:

$$x^3 — 2x^2 + 6x — 12 = (x — 2)(x^2 + 6)$$

Проверим:

$$(x — 2)(x^2 + 6) = x^3 + 6x — 2x^2 -12 = x^3 — 2x^2 + 6x — 12 \Rightarrow \text{Верно}$$

Шаг 3: Учитываем: $x^2 + 6 > 0$ всегда

Решаем:

$$x — 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$$

Ответ:

$$\boxed{D(x) = [2;\ +\infty)}$$

г) $y = \sqrt{x^3 — 5x^2 + 7x — 3}$

Шаг 1: Требуем:

$$x^3 — 5x^2 + 7x — 3 \geq 0$$

Шаг 2: Используем схему Горнера

Подставим $x = 1$:

$$1^3 — 5(1)^2 + 7(1) — 3 = 1 — 5 + 7 — 3 = 0 \Rightarrow x = 1\ — корень$$

Разделим многочлен на $(x — 1)$:

Схема Горнера:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & -5 & 7 & -3 \\ \hline 1 & 1 & -4 & 3 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Осталось:

$$x^2 — 4x + 3$$

Разложим:

$$x^2 — 4x + 3 = (x — 1)(x — 3)$$

Полное разложение:

$$x^3 — 5x^2 + 7x — 3 = (x — 1)^2(x — 3)$$

Шаг 3: Неравенство:

$$(x — 1)^2(x — 3) \geq 0$$

Нули: $x = 1$ (кратность 2), $x = 3$

Интервалы:

• $(-\infty;\ 1)$
• $(1;\ 3)$
• $(3;\ +\infty)$

Тестовые точки:

Шаг 4: Условие $\geq 0$

Подходит:

• $x = 1$ (нулевое значение)
• $x = 3$
• $x > 3$

Ответ:

$$\boxed{D(x) = \{1\} \cup [3;\ +\infty)}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{[-19;\ 2]}$

б) $\boxed{(-\infty;\ 0] \cup [1;\ +\infty)}$

в) $\boxed{[2;\ +\infty)}$

г) $\boxed{{\displaystyle \{1\}\cup [3;+\mathrm{\infty })}}$