ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 292 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите множество решений

а) $7x^3 — 2x^2 — 28x + 8 > 0$;

б) $x^3 + 6x^2 — x — 6 < 0$;

в) $x^3 — 5x^2 + 8x — 4 > 0$;

г) $x^3 + 2x^2 — 5x — 6 < 0$

Решить неравенство:

а) $7x^3 — 2x^2 — 28x + 8 > 0$;

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 7 & -2 & -28 & 8 \\ \hline 2 & 7 & 12 & -4 & 0 \\ \hline \end{array}$$

$(x — 2)(7x^2 + 12x — 4) > 0$;

$D = 12^2 + 4 \cdot 7 \cdot 4 = 144 + 112 = 256$, тогда:

$x_1 = \dfrac{-12 — 16}{2 \cdot 7} = -2$ и $x_2 = \dfrac{-12 + 16}{2 \cdot 7} = \dfrac{2}{7}$;

$(x + 2)\left(x — \dfrac{2}{7}\right)(x — 2) > 0$;

$-2 < x < \dfrac{2}{7},\ x > 2$;

Ответ: $\left(-2;\ \dfrac{2}{7}\right) \cup (2;\ +\infty)$.

б) $x^3 + 6x^2 — x — 6 < 0$;

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 6 & -1 & -6 \\ \hline 1 & 1 & 7 & 6 & 0 \\ \hline \end{array}$$

$(x — 1)(x^2 + 7x + 6) < 0$;

$D = 7^2 — 4 \cdot 6 = 49 — 24 = 25$, тогда:

$x_1 = \dfrac{-7 — 5}{2} = -6$ и $x_2 = \dfrac{-7 + 5}{2} = -1$;

$(x — 1)(x + 6)(x + 1) < 0$;

$x < -6,\ -1 < x < 1$;

Ответ: $(-\infty;\ -6) \cup (-1;\ 1)$.

в) $x^3 — 5x^2 + 8x — 4 > 0$;

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & -5 & 8 & -4 \\ \hline 1 & 1 & -4 & 4 & 0 \\ \hline \end{array}$$

$(x — 1)(x^2 — 4x + 4) > 0$;

$(x — 1)(x — 2)^2 > 0$;

$x — 1 > 0,\ x — 2 \ne 0$;

$x > 1,\ x \ne 2$;

Ответ: $(1;\ 2) \cup (2;\ +\infty)$.

г) $x^3 + 2x^2 — 5x — 6 < 0$;

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & -5 & -6 \\ \hline 2 & 1 & 4 & 3 & 0 \\ \hline \end{array}$$

$(x — 2)(x^2 + 4x + 3) < 0$;

$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$, тогда:

$x_1 = \dfrac{-4 — 2}{2} = -3$ и $x_2 = \dfrac{-4 + 2}{2} = -1$;

$(x + 3)(x + 1)(x — 2) < 0$;

$x < -3,\ -1 < x < 2$;

Ответ: $(-\infty;\ -3) \cup (-1;\ 2)$.

а) $7x^3 — 2x^2 — 28x + 8 > 0$

Шаг 1: Используем схему Горнера для деления на $(x — 2)$:

Проверим, является ли $x = 2$ корнем:

$$7(2)^3 — 2(2)^2 — 28(2) + 8 = 56 — 8 — 56 + 8 = 0 \Rightarrow \text{Да, корень.}$$

Разделим многочлен на $(x — 2)$ при помощи схемы Горнера:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 7 & -2 & -28 & 8 \\ \hline 2 & 7 & 12 & -4 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Получаем:

$$7x^2 + 12x — 4$$

Таким образом:

$$7x^3 — 2x^2 — 28x + 8 = (x — 2)(7x^2 + 12x — 4)$$

Шаг 2: Найдём корни квадратного трёхчлена $7x^2 + 12x — 4$:

$$D = 12^2 + 4 \cdot 7 \cdot 4 = 144 + 112 = 256$$ $$\sqrt{D} = 16$$ $$x_1 = \frac{-12 — 16}{2 \cdot 7} = \frac{-28}{14} = -2$$ $$x_2=\frac{-12+16}{2\cdot 7}=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$$

Шаг 3: Полный разложенный вид:

$$(x — 2)(7x^2 + 12x — 4) = (x — 2)(x + 2)\left(x — \frac{2}{7}\right)$$

Приведём к виду с возрастающими корнями:

$$(x + 2)\left(x — \frac{2}{7}\right)(x — 2)$$

Шаг 4: Метод интервалов.

Корни:

$$x = -2,\ x = \frac{2}{7},\ x = 2$$

Интервалы:

• $(-\infty; -2)$
• $(-2; \frac{2}{7})$
• $\left(\frac{2}{7}; 2\right)$
• $(2; +\infty)$

Выбираем тестовые точки и определяем знак выражения:

Шаг 5: Знак должен быть $> 0$

Берём интервалы, где знак $+$:

$$x \in (-2;\ \frac{2}{7}) \cup (2;\ +\infty)$$

Ответ:

$$\boxed{\left(-2;\ \dfrac{2}{7}\right) \cup \left(2;\ +\infty\right)}$$

б) $x^3 + 6x^2 — x — 6 < 0$

Шаг 1: Используем схему Горнера для $x = 1$:

Проверим:

$$1^3 + 6(1)^2 — 1 — 6 = 1 + 6 — 1 — 6 = 0 \Rightarrow x = 1 \text{ — корень}$$

Схема Горнера:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 6 & -1 & -6 \\ \hline 1 & 1 & 7 & 6 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Получаем:

$$(x — 1)(x^2 + 7x + 6)$$

Шаг 2: Разложим квадратный трёхчлен:

$$x^2 + 7x + 6 = (x + 6)(x + 1)$$

Полный вид:

$$(x — 1)(x + 6)(x + 1)$$

Шаг 3: Метод интервалов

Корни:

$$x = -6,\ x = -1,\ x = 1$$

Интервалы:

• $(-\infty; -6)$
• $(-6; -1)$
• $(-1; 1)$
• $(1; +\infty)$

Тестовые точки:

Шаг 4: Требуется: $\ < 0$

Берём интервалы со знаком $—$:

$$x \in (-\infty;\ -6) \cup (-1;\ 1)$$

Ответ:

$$\boxed{(-\infty;\ -6) \cup (-1;\ 1)}$$

в) $x^3 — 5x^2 + 8x — 4 > 0$

Шаг 1: Проверим $x = 1$:

$$1^3 — 5(1)^2 + 8(1) — 4 = 1 — 5 + 8 — 4 = 0 \Rightarrow x = 1 \text{ — корень}$$

Схема Горнера:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & -5 & 8 & -4 \\ \hline 1 & 1 & -4 & 4 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Получаем:

$$(x — 1)(x^2 — 4x + 4)$$

Разложим квадрат:

$$x^2 — 4x + 4 = (x — 2)^2$$

Итог:

$$(x — 1)(x — 2)^2$$

Шаг 2: Метод интервалов

Корни:

$$x = 1,\ x = 2 \ (\text{кратности 2})$$

Интервалы:

• $(-\infty; 1)$
• $(1; 2)$
• $(2; +\infty)$

Тестовые точки:

Шаг 3: Условие: $> 0$

Нужны положительные интервалы:

$$x \in (1;\ 2) \cup (2;\ +\infty)$$

Ответ:

$$\boxed{(1;\ 2) \cup (2;\ +\infty)}$$

г) $x^3 + 2x^2 — 5x — 6 < 0$

Шаг 1: Проверим $x = 2$:

$$8 + 8 — 10 — 6 = 0 \Rightarrow x = 2 \text{ — корень}$$

Схема Горнера:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & -5 & -6 \\ \hline 2 & 1 & 4 & 3 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Получаем:

$$(x — 2)(x^2 + 4x + 3)$$

Разложим квадрат:

$$x^2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1)$$

Итог:

$$(x + 3)(x + 1)(x — 2)$$

Шаг 2: Метод интервалов

Корни:

$$x = -3,\ -1,\ 2$$

Интервалы:

• $(-\infty;\ -3)$
• $(-3;\ -1)$
• $(-1;\ 2)$
• $(2;\ +\infty)$

Тестовые точки:

Шаг 3: Условие: $< 0$

Берём интервалы со знаком $—$:

$$x \in (-\infty;\ -3) \cup (-1;\ 2)$$

Ответ:

$$\boxed{(-\infty;\ -3) \cup (-1;\ 2)}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{\left(-2;\ \dfrac{2}{7}\right) \cup (2;\ +\infty)}$
б) $\boxed{(-\infty;\ -6) \cup (-1;\ 1)}$
в) $\boxed{(1;\ 2) \cup (2;\ +\infty)}$
г) $\boxed{{\displaystyle (-\mathrm{\infty };-3)\cup (-1;2)}}$