ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 292 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите множество решений

а) 7x^3-2x^2-28x+8 > 0; в) x^3-5x^2+8x-4 > 0;

б) x^3+6x^2-x-6 < 0; г) x^3+2x^2-5x-6 < 0.

Решить неравенство:

а)
\[
7x^3 — 2x^2 — 28x + 8 > 0;
\]

Таблица:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
7 & -2 & -28 & 8 \\
\hline
2 & 7 & 12 & -4 & 0 \\
\hline
\end{array}
\]

\[
(x — 2)(7x^2 + 12x — 4) > 0;
\]

\[
D = 12^2 + 4 \cdot 7 \cdot 4 = 144 + 112 = 256, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-12 — 16}{2 \cdot 7} = -2, \quad x_2 = \frac{-12 + 16}{2 \cdot 7} = \frac{2}{7};
\]

\[
(x + 2)\left(x — \frac{2}{7}\right)(x — 2) > 0;
\]

\[
-2 < x < \frac{2}{7}, \quad x > 2;
\]

Ответ:

\[
(-2; \frac{2}{7}) \cup (2; +\infty).
\]

б)
\[
x^3 + 6x^2 — x — 6 < 0;
\]

Таблица:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
1 & 6 & -1 & -6 \\
\hline
1 & 1 & 7 & 6 & 0 \\
\hline
\end{array}
\]

\[
(x + 6)(x^2 + 7x + 6) < 0;
\]

\[
D = 7^2 — 4 \cdot 6 = 49 — 24 = 25, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-7 — 5}{2} = -6, \quad x_2 = \frac{-7 + 5}{2} = -1;
\]

\[
(x + 6)(x + 1)(x — 1) < 0;
\]

\[
x < -6, \quad -1 < x < 1;
\]

Ответ:

\[
(-\infty; -6) \cup (-1; 1).
\]

в)
\[
x^3 — 5x^2 + 8x — 4 > 0;
\]

Таблица:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
1 & -5 & 8 & -4 \\
\hline
1 & 1 & -4 & 4 & 0 \\
\hline
\end{array}
\]

\[
(x — 1)(x^2 — 4x + 4) > 0;
\]

\[
(x — 1)(x — 2)^2 > 0;
\]

\[
x — 1 > 0, \quad x — 2 \neq 0;
\]

\[
x > 1, \quad x \neq 2;
\]

Ответ:

\[
(1; 2) \cup (2; +\infty).
\]

г)
\[
x^3 + 2x^2 — 5x — 6 < 0;
\]
Таблица:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
1 & 2 & -5 & -6 \\
\hline
2 & 1 & 4 & 3 & 0 \\
\hline
\end{array}
\]

\[
(x — 2)(x^2 + 4x + 3) < 0;
\]

\[
D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1;
\]

\[
(x + 3)(x + 1)(x — 2) < 0;
\]

\[
x < -3, \quad -1 < x < 2;
\]

Ответ:

\[
(-\infty; -3) \cup (-1; 2).
\]

а)

Дано неравенство:

\( 7x^3 — 2x^2 — 28x + 8 > 0 \)

Мы свели его к виду:

\( (x — 2)(7x^2 + 12x — 4) > 0 \)

Найдем корни второго множителя \(7x^2 + 12x — 4 = 0\). Для этого используем дискриминант:

\( D = 12^2 + 4 \cdot 7 \cdot 4 = 144 + 112 = 256 \)

Корни:

\( x_1 = \frac{-12 — 16}{2 \cdot 7} = -2, \quad x_2 = \frac{-12 + 16}{2 \cdot 7} = \frac{2}{7} \)

Теперь у нас есть неравенство:

\( (x + 2)\left(x — \frac{2}{7}\right)(x — 2) > 0 \)

Пусть \(x_1 = -2\), \(x_2 = \frac{2}{7}\), \(x_3 = 2\). Рассмотрим знаки на промежутках:

\( (-\infty, -2) \): все множители отрицательные, знак \(-\).

\( (-2, \frac{2}{7}) \): два множителя отрицательные, один положительный, знак \(+\).

\( (\frac{2}{7}, 2) \): два множителя положительные, один отрицательный, знак \(-\).

\( (2, +\infty) \): все множители положительные, знак \(+\).

Ответ: \( (-2; \frac{2}{7}) \cup (2; +\infty) \)

б)

Дано неравенство:

\( x^3 + 6x^2 — x — 6 < 0 \)

Мы свели его к виду:

\( (x + 6)(x^2 + 7x + 6) < 0 \)

Найдем корни второго множителя \(x^2 + 7x + 6 = 0\) с помощью дискриминанта:

\( D = 7^2 — 4 \cdot 6 = 49 — 24 = 25 \)

Корни:

\( x_1 = \frac{-7 — 5}{2} = -6, \quad x_2 = \frac{-7 + 5}{2} = -1 \)

Теперь неравенство выглядит так:

\( (x + 6)(x + 1)(x — 1) < 0 \)

Пусть \(x_1 = -6\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = 1\). Рассмотрим знаки на промежутках:

\( (-\infty, -6) \): все множители отрицательные, знак \(+\).

\( (-6, -1) \): два множителя положительные, один отрицательный, знак \(-\).

\( (-1, 1) \): два множителя отрицательные, один положительный, знак \(+\).

\( (1, +\infty) \): все множители положительные, знак \(+\).

Ответ: \( (-\infty; -6) \cup (-1; 1) \)

в)

Дано неравенство:

\( x^3 — 5x^2 + 8x — 4 > 0 \)

Мы свели его к виду:

\( (x — 1)(x^2 — 4x + 4) > 0 \)

Данное уравнение можно упростить:

\( (x — 1)(x — 2)^2 > 0 \)

Рассмотрим знаки:

\( x — 1 > 0 \) означает \( x > 1 \).

\( x — 2 \neq 0 \) (корень кратности 2).

Ответ: \( (1; 2) \cup (2; +\infty) \)

г)

Дано неравенство:

\( x^3 + 2x^2 — 5x — 6 < 0 \)

Мы свели его к виду:

\( (x — 2)(x^2 + 4x + 3) < 0 \)

Найдем корни второго множителя \(x^2 + 4x + 3 = 0\) с помощью дискриминанта:

\( D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4 \)

Корни:

\( x_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1 \)

Теперь неравенство выглядит так:

\( (x + 3)(x + 1)(x — 2) < 0 \)

Пусть \(x_1 = -3\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = 2\). Рассмотрим знаки на промежутках:

\( (-\infty, -3) \): все множители отрицательные, знак \(+\).

\( (-3, -1) \): два множителя положительные, один отрицательный, знак \(-\).

\( (-1, 2) \): два множителя отрицательные, один положительный, знак \(+\).

\( (2, +\infty) \): все множители положительные, знак \(+\).

Ответ: \( (-\infty; -3) \cup (-1; 2) \)