ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 291 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $(x^2 + x)(49 — x^2) < 0$;

б) $(x^4 — 1)(x^2 + 11) > 0$;

в) $(x^2 — 7)(x^2 + 18) < 0$;

г) $(x^2 — 11)(15 — x^2) \geq 0$;

д) $(x^3 — 3x^2)(x^2 + 7) \leq 0$;

е) $(x^2 — 6x + 5)(x + 8) > 0$;

ж) $(x^2 — x + 11)(4 — x) \geq 0$;

з) $(x^2 — 9)(x^2 + 2x + 14) > 0$

Решить неравенство:

а) $(x^2 + x)(49 — x^2) < 0$;
$x(x + 1)(7 — x)(7 + x) < 0$;
$(x + 7)(x + 1)x(x — 7) > 0$;
$x < -7,\ -1 < x < 0,\ x > 7$;
Ответ: $(- \infty; -7) \cup (-1; 0) \cup (7; +\infty)$.

б) $(x^4 — 1)(x^2 + 11) > 0$;
$(x^2 — 1)(x^2 + 1) > 0$;
$(x + 1)(x — 1) > 0$;
$x < -1,\ x > 1$;
Ответ: $(- \infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

в) $(x^2 — 7)(x^2 + 18) < 0$;
$(x + \sqrt{7})(x — \sqrt{7}) < 0$;
$-\sqrt{7} < x < \sqrt{7}$;
Ответ: $(- \sqrt{7}; \sqrt{7})$.

г) $(x^2 — 11)(15 — x^2) \geq 0$;
$(x + \sqrt{11})(x — \sqrt{11})(\sqrt{15} + x)(\sqrt{15} — x) \geq 0$;
$(x + \sqrt{15})(x + \sqrt{11})(x — \sqrt{11})(x — \sqrt{15}) \leq 0$;
$-\sqrt{15} \leq x \leq -\sqrt{11},\ \sqrt{11} \leq x \leq \sqrt{15}$;
Ответ: $[-\sqrt{15}; -\sqrt{11}] \cup [\sqrt{11}; \sqrt{15}]$.

д) $(x^3 — 3x^2)(x^2 + 7) \leq 0$;
$x^2(x — 3) \leq 0$;
$x — 3 \leq 0,\ x = 0$;
$x \leq 3,\ x = 0$;
Ответ: $(- \infty; 3]$.

е) $(x^2 — 6x + 5)(x + 8) > 0$;
$D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$, тогда:
$x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1$ и $x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5$;
$(x + 8)(x — 1)(x — 5) > 0$;
$-8 < x < 1,\ x > 5$;
Ответ: $(-8; 1) \cup (5; +\infty)$.

ж) $(x^2 — x + 11)(4 — x) \geq 0$;
$D = 1^2 — 4 \cdot 11 = -33$;
$4 — x \geq 0,\ x \leq 4$;
Ответ: $(- \infty; 4]$.

з) $(x^2 — 9)(x^2 + 2x + 14) > 0$;
$D = 2^2 — 4 \cdot 14 = -52$;
$(x + 3)(x — 3) > 0$;
$x < -3,\ x > 3$;
Ответ: $(- \infty; -3) \cup (3; +\infty)$.

а) $(x^2 + x)(49 — x^2) < 0$

Шаг 1: Разложим множители.
$x^2 + x = x(x + 1)$
$49 — x^2 = (7 — x)(7 + x) = -(x — 7)(x + 7)$

Подставим:

$$(x^2 + x)(49 — x^2) = x(x + 1)(-1)(x — 7)(x + 7)$$ $$= -(x + 7)(x + 1)x(x — 7)$$

Меняем знак неравенства при умножении на $-1$:

$$(x + 7)(x + 1)x(x — 7) > 0$$

Шаг 2: Найдём нули множителей (точки разбиения):

$$x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7$$ $$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$$ $$x = 0$$ $$x — 7 = 0 \Rightarrow x = 7$$

Шаг 3: Отметим точки на числовой прямой и определим интервалы:

$$(-\infty;\ -7),\ (-7;\ -1),\ (-1;\ 0),\ (0;\ 7),\ (7;\ +\infty)$$

Шаг 4: Определим знак на каждом интервале методом интервалов.
Выберем точку в каждом интервале и подставим в выражение:

• $x = -8$: $(-)(-)(-)(-)$ → знак $+$
• $x = -2$: $(+)(-)(-)(-)$ → знак $+$
• $x = -0.5$: $(+)(+)(-)(-)$ → знак $+$
• $x = 1$: $(+)(+)(+)(-)$ → знак $—$
• $x = 8$: $(+)(+)(+)(+)$ → знак $+$

Шаг 5: Нам нужно: $(x + 7)(x + 1)x(x — 7) > 0$
Нас интересуют интервалы со знаком $+$:

$$x < -7,\ -1 < x < 0,\ x > 7$$

Ответ:

$$\boxed{(-\infty;\ -7) \cup (-1;\ 0) \cup (7;\ +\infty)}$$

б) $(x^4 — 1)(x^2 + 11) > 0$

Шаг 1: Разложим множители.
$x^4 — 1 = (x^2 — 1)(x^2 + 1) = (x — 1)(x + 1)(x^2 + 1)$

$x^2 + 11 > 0$ всегда положительно ⇒ можно не учитывать знак, он не меняется.

$$(x — 1)(x + 1) > 0$$

Шаг 2: Найдём точки разбиения:

$$x = -1,\ x = 1$$

Интервалы:

$$(-\infty; -1),\ (-1; 1),\ (1; +\infty)$$

Шаг 3: Определим знак на интервалах:

• $x = -2$: $(-)(-)$ → знак $+$
• $x = 0$: $(+)(-)$ → знак $—$
• $x = 2$: $(+)(+)$ → знак $+$

Шаг 4: Требуется: $> 0$
Искомые интервалы:

$$x < -1,\ x > 1$$

Ответ:

$$\boxed{(-\infty;\ -1) \cup (1;\ +\infty)}$$

в) $(x^2 — 7)(x^2 + 18) < 0$

Шаг 1: Заметим, что $x^2 + 18 > 0$ при всех $x$, так как сумма двух положительных чисел.

Остаётся:

$$x^2 — 7 < 0$$

Шаг 2: Решаем:

$$x^2 < 7 \Rightarrow -\sqrt{7} < x < \sqrt{7}$$

Ответ:

$$\boxed{(-\sqrt{7};\ \sqrt{7})}$$

г) $(x^2 — 11)(15 — x^2) \geq 0$

Шаг 1: Разложим выражения на множители:

$$x^2 — 11 = (x — \sqrt{11})(x + \sqrt{11})$$ $$15 — x^2 = (\sqrt{15} — x)(\sqrt{15} + x) = -(x — \sqrt{15})(x + \sqrt{15})$$

Подставим:

$$(x + \sqrt{11})(x — \sqrt{11})(-1)(x — \sqrt{15})(x + \sqrt{15}) \geq 0$$

Уберём $-1$, меняем знак:

$$(x + \sqrt{11})(x — \sqrt{11})(x — \sqrt{15})(x + \sqrt{15}) \leq 0$$

Шаг 2: Расставим корни:

$$x = -\sqrt{15},\ -\sqrt{11},\ \sqrt{11},\ \sqrt{15}$$

Шаг 3: Интервалы:

$$(-\infty;\ -\sqrt{15}),\ (-\sqrt{15}; -\sqrt{11}),\ (-\sqrt{11}; \sqrt{11}),\ (\sqrt{11}; \sqrt{15}),\ (\sqrt{15}; +\infty)$$

Шаг 4: Метод интервалов:

• На интервалах $(- \sqrt{15}; — \sqrt{11})$ и $(\sqrt{11}; \sqrt{15})$ знак $—$
• На остальных — знак $+$

Ищем: $\leq 0$ ⇒ включает нули и отрицательные значения.

Ответ:

$$\boxed{[-\sqrt{15};\ -\sqrt{11}] \cup [\sqrt{11};\ \sqrt{15}]}$$

д) $(x^3 — 3x^2)(x^2 + 7) \leq 0$

Шаг 1: $x^2 + 7 > 0$ всегда ⇒ не влияет на знак.
Рассматриваем:

$$x^3 — 3x^2 \leq 0$$

Шаг 2: Вынесем общий множитель:

$$x^2(x — 3) \leq 0$$

Шаг 3: Найдём нули:

• $x = 0$
• $x = 3$

Шаг 4: Интервалы:

$$(-\infty; 0),\ (0; 3),\ (3; +\infty)$$

Знаки:

• $x = -1$: $x^2 > 0$, $x — 3 < 0$ → знак $—$
• $x = 1$: $x^2 > 0$, $x — 3 < 0$ → знак $—$
• $x = 4$: $x^2 > 0$, $x — 3 > 0$ → знак $+$

Ищем: $\leq 0$

Ответ:

$$\boxed{(-\infty;\ 3]}$$

е) $(x^2 — 6x + 5)(x + 8) > 0$

Шаг 1: Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$x^2 — 6x + 5 = 0 \Rightarrow D = 36 — 20 = 16$$ $$x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1,\quad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5$$

Разложим:

$$(x — 1)(x — 5)(x + 8) > 0$$

Шаг 2: Точки разбиения:

$$x = -8,\ 1,\ 5$$

Интервалы:

$$(-\infty; -8),\ (-8; 1),\ (1; 5),\ (5; +\infty)$$

Знаки:

• $x = -9$: $(-)(-)(-)$ → знак $—$
• $x = 0$: $(-)(-)(+)$ → знак $+$
• $x = 2$: $(+)(-)(+)$ → знак $—$
• $x = 6$: $(+)(+)(+)$ → знак $+$

Ищем: $> 0$

Ответ:

$$\boxed{(-8;\ 1) \cup (5;\ +\infty)}$$

ж) $(x^2 — x + 11)(4 — x) \geq 0$

Шаг 1: $x^2 — x + 11 > 0$ всегда, так как

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 11 = -43 < 0$$

Рассматриваем:

$$4 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 4$$

Ответ:

$$\boxed{(-\infty;\ 4]}$$

з) $(x^2 — 9)(x^2 + 2x + 14) > 0$

Шаг 1: $x^2 — 9 = (x — 3)(x + 3)$
$x^2 + 2x + 14$:

$$D = 4 — 56 = -52 < 0 \Rightarrow \text{всегда положительно}$$

Рассматриваем:

$$(x — 3)(x + 3) > 0$$

Шаг 2: Точки разбиения:

$$x = -3,\ x = 3$$

Интервалы:

$$(-\infty; -3),\ (-3; 3),\ (3; +\infty)$$

Знаки:

• $x = -4$: $(-)(-)$ → знак $+$
• $x = 0$: $(-)(+)$ → знак $—$
• $x = 4$: $(+)(+)$ → знак $+$

Ищем: $> 0$

Ответ:

$$\boxed{(-\infty;\ -3) \cup (3;\ +\infty)}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{(-\infty; -7) \cup (-1; 0) \cup (7; +\infty)}$
б) $\boxed{(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)}$
в) $\boxed{(-\sqrt{7};\ \sqrt{7})}$
г) $\boxed{[-\sqrt{15}; -\sqrt{11}] \cup [\sqrt{11}; \sqrt{15}]}$
д) $\boxed{(-\infty;\ 3]}$
е) $\boxed{(-8;\ 1) \cup (5;\ +\infty)}$
ж) $\boxed{(-\infty;\ 4]}$
з) $\boxed{{\displaystyle (-\mathrm{\infty };-3)\cup (3;+\mathrm{\infty })}}$