ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 291 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) (x^2+x)(49-x^2) < 0; д) (x^3-3x^2)(x^2+7)?0;

б) (x^4-1)(x^2+11) > 0; е) (x^2-6x+5)(x+8) > 0;

в) (x^2-7)(x^2+18) < 0; ж) (x^2-x+11)(4-x)?0;

г) (x^2-11)(15-x^2)?0; з) (x^2-9)(x^2+2x+14) > 0.

Решить неравенство:

а)
\[
(x^2 + x)(49 — x^2) < 0;
\]

\[
x(x + 1)(7 — x)(7 + x) < 0;
\]

\[
(x + 7)(x + 1)x(x — 7) > 0;
\]

\[
x < -7, \quad -1 < x < 0, \quad x > 7;
\]

Ответ:

\[
(-\infty; -7) \cup (-1; 0) \cup (7; +\infty).
\]

б)
\[
(x^4 — 1)(x^2 + 11) > 0;
\]

\[
(x^2 — 1)(x^2 + 1) > 0;
\]

\[
(x + 1)(x — 1) > 0;
\]

\[
x < -1, \quad x > 1;
\]

Ответ:

\[
(-\infty; -1) \cup (1; +\infty).
\]

в)
\[
(x^2 — 7)(x^2 + 18) < 0;
\]

\[
(x + \sqrt{7})(x — \sqrt{7}) < 0;
\]

\[
-\sqrt{7} < x < \sqrt{7};
\]

Ответ:

\[
(-\sqrt{7}; \sqrt{7}).
\]

г)
\[
(x^2 — 11)(15 — x^2) \geq 0;
\]

\[
(x + \sqrt{11})(x — \sqrt{11})(\sqrt{15} + x)(\sqrt{15} — x) \geq 0;
\]

\[
(x + \sqrt{15})(x + \sqrt{11})(x — \sqrt{11})(x — \sqrt{15}) \leq 0;
\]

\[
-\sqrt{15} \leq x \leq \sqrt{11}, \quad \sqrt{11} \leq x \leq \sqrt{15};
\]

Ответ:
\[
(-\infty; 3].
\]

д)
\[
(x^3 — 3x^2)(x^2 + 7) \leq 0;
\]

\[
x^2(x — 3) \leq 0;
\]

\[
x — 3 \leq 0, \quad x = 0;
\]

\[
x \leq 3, \quad x = 0;
\]

Ответ:
\[
(-\infty; 3].
\]

е)
\[
(x^2 — 6x + 5)(x + 8) > 0;
\]

\[
D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5;
\]

\[
(x + 8)(x — 1)(x — 5) > 0;
\]

\[
-8 < x < 1, \quad x > 5;
\]

Ответ:

\[
(-8; 1) \cup (5; +\infty).
\]

ж)
\[
(x^2 — x + 11)(4 — x) \geq 0;
\]

\[
D = 1^2 — 4 \cdot 11 = -33;
\]

\[
4 — x \geq 0, \quad x \leq 4;
\]

Ответ:

\[
(-\infty; 4].
\]

з)
\[
(x^2 — 9)(x^2 + 2x + 14) > 0;
\]

\[
D = 2^2 — 4 \cdot 14 = -52;
\]

\[
(x + 3)(x — 3) > 0;
\]

\[
x < -3, \quad x > 3;
\]

Ответ:
\[
(-\infty; -3) \cup (3; +\infty).
\]

а) Разбор:

Дано неравенство:

\( (x^2 + x)(49 — x^2) < 0 \)

Шаг 1: Раскроем скобки и преобразуем выражение:

\( x(x + 1)(7 — x)(7 + x) < 0 \)

Шаг 2: Из этого неравенства получаем:

\( (x + 7)(x + 1)x(x — 7) > 0 \)

Шаг 3: Разбираем знак произведения на промежутках \( (-\infty, -7) \), \( (-7, -1) \), \( (-1, 0) \), \( (0, 7) \), и \( (7, +\infty) \). Положительные значения на промежутках:

1. \( (-\infty, -7) \)

2. \( (-1, 0) \)

3. \( (7, +\infty) \)

Ответ: \( (-\infty; -7) \cup (-1; 0) \cup (7; +\infty) \)

б) Разбор:

Дано неравенство:

\( (x^4 — 1)(x^2 + 11) > 0 \)

Шаг 1: Разбираем это неравенство:

\( (x^2 — 1)(x^2 + 1) > 0 \)

Шаг 2: Переходим к простому виду:

\( (x + 1)(x — 1) > 0 \)

Шаг 3: Рассматриваем промежутки и решаем неравенство:

\( x < -1, \quad x > 1 \)

Ответ: \( (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) \)

в) Разбор:

Дано неравенство:

\( (x^2 — 7)(x^2 + 18) < 0 \)

Шаг 1: Переписываем неравенство:

\( (x + \sqrt{7})(x — \sqrt{7}) < 0 \)

Шаг 2: Находим промежутки для решения неравенства:

\( -\sqrt{7} < x < \sqrt{7} \)

Ответ: \( (-\sqrt{7}; \sqrt{7}) \)

г) Разбор:

Дано неравенство:

\( (x^2 — 11)(15 — x^2) \geq 0 \)

Шаг 1: Переписываем выражение и находим корни:

\( (x + \sqrt{11})(x — \sqrt{11})(\sqrt{15} + x)(\sqrt{15} — x) \geq 0 \)

Шаг 2: Разбираем знак произведения на промежутках:

\( -\sqrt{15} \leq x \leq \sqrt{11}, \quad \sqrt{11} \leq x \leq \sqrt{15} \)

Ответ:

\[
(-\infty; 3].
\]

д) Разбор:

Дано неравенство:

\( (x^3 — 3x^2)(x^2 + 7) \leq 0 \)

Шаг 1: Разбираем неравенство:

\( x^2(x — 3) \leq 0 \)

Шаг 2: Находим корни и решаем неравенство:

\( x — 3 \leq 0, \quad x = 0 \)

Ответ: \( (-\infty; 3] \)

е) Разбор:

Дано неравенство:

\( (x^2 — 6x + 5)(x + 8) > 0 \)

Шаг 1: Находим дискриминант для квадратичной части выражения:

\( D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16 \)

Шаг 2: Находим корни квадратичного уравнения:

\( x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5 \)

Шаг 3: Рассматриваем знак произведения на промежутках и решаем неравенство:

\( -8 < x < 1, \quad x > 5 \)

Ответ: \( (-8; 1) \cup (5; +\infty) \)

ж) Разбор:

Дано неравенство:

\( (x^2 — x + 11)(4 — x) \geq 0 \)

Шаг 1: Находим дискриминант для квадратичной части выражения:

\( D = 1^2 — 4 \cdot 11 = -33 \)

Шаг 2: Решаем неравенство:

\( 4 — x \geq 0, \quad x \leq 4 \)

Ответ: \( (-\infty; 4] \)

з) Разбор:

Дано неравенство:

\( (x^2 — 9)(x^2 + 2x + 14) > 0 \)

Шаг 1: Находим дискриминант для квадратичной части выражения:

\( D = 2^2 — 4 \cdot 14 = -52 \)

Шаг 2: Решаем неравенство:

\( (x + 3)(x — 3) > 0 \)

Шаг 3: Разбираем знак произведения на промежутках:

\( x < -3, \quad x > 3 \)

Ответ: \( (-\infty; -3) \cup (3; +\infty) \)