ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 287 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Используя метод интервалов, решите неравенство:

а)

$$(x+\mathrm{1,2})(x+1\frac{1}{3})\ge 0;$$

б)

$$x(x-4)(x-\mathrm{4,2})(x-4\frac{1}{3})<0$$

Решить неравенство:

а)

$$(x+\mathrm{1,2})(x+1\frac{1}{3})\ge 0;$$

$$(x + 1{,}2)\left(x + 1\dfrac{1}{3}\right) \geq 0;$$ $$(x+1\frac{1}{3})(x+\mathrm{1,2})\ge 0;$$

$$\left(x + 1\dfrac{1}{3}\right)(x + 1{,}2) \geq 0;$$ $$x \leq -1\dfrac{1}{3},\ x \geq -1{,}2;$$

Ответ:

$$\left(-\infty; -1\dfrac{1}{3}\right] \cup [-1{,}2; +\infty)$$

б)

$$x(x-4)(x-\mathrm{4,2})(x-4\frac{1}{3})<0;$$

$$x(x — 4)(x — 4{,}2)\left(x — 4\dfrac{1}{3}\right) < 0;$$ $$x(x-4)(x-\mathrm{4,2})(x-4\frac{1}{3})<0;$$

$$x(x — 4)(x — 4{,}2)\left(x — 4\dfrac{1}{3}\right) < 0;$$ $$0 < x < 4,\ 4{,}2 < x < 4\dfrac{1}{3};$$

Ответ:

$$(0; 4) \cup \left(4{,}2;\ 4\dfrac{1}{3}\right)$$

а)

$$(x + 1{,}2)\left(x + 1\dfrac{1}{3}\right) \geq 0$$

Шаг 1: Приведение к общему виду

Перепишем неравенство с дробью как десятичное:

$$(x + 1{,}2)(x + 1{,}333…) \geq 0$$

Или, чтобы работать с дробями:

$$(x + 1{,}2)\left(x + \dfrac{4}{3}\right) \geq 0$$

Шаг 2: Найдём нули выражения

Решим:

$$(x + 1{,}2) = 0 \Rightarrow x = -1{,}2 \quad\text{и}\quad x + \dfrac{4}{3} = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{4}{3} = -1\dfrac{1}{3}$$

Шаг 3: Разметка числовой прямой

Наносим корни:

• $x = -\dfrac{4}{3} = -1{,}333…$
• $x = -1{,}2$

Они разбивают числовую прямую на 3 интервала:

1. $(-\infty; -\dfrac{4}{3})$
2. $(-\dfrac{4}{3};\ -1{,}2)$
3. $(-1{,}2;\ +\infty)$

Шаг 4: Определим знаки на интервалах

Выражение:

$$(x + 1{,}2)\left(x + \dfrac{4}{3}\right)$$

Шаг 5: Учитываем знак неравенства

У нас:

$$(x + 1{,}2)\left(x + \dfrac{4}{3}\right) \geq 0$$

Значит, выбираем интервалы, где произведение положительно или равно нулю. Также включаем точки, в которых выражение равно нулю:

• $x = -\dfrac{4}{3} \Rightarrow \text{включаем}$
• $x = -1{,}2 \Rightarrow \text{включаем}$

Ответ (а):

$$\boxed{ \left(-\infty;\ -1\dfrac{1}{3}\right] \cup [-1{,}2;\ +\infty) }$$

б)

$$x(x — 4)(x — 4{,}2)\left(x — 4\dfrac{1}{3}\right) < 0$$

Шаг 1: Найдём корни выражения

Выражение:

$$x(x — 4)(x — 4{,}2)\left(x — \dfrac{13}{3}\right)$$

Корни:

• $x = 0$
• $x = 4$
• $x = 4{,}2$
• $x = \dfrac{13}{3} = 4{,}333… = 4\dfrac{1}{3}$

Шаг 2: Разметка числовой прямой

Корни разбивают прямую на 5 интервалов:

1. $(-\infty;\ 0)$
2. $(0;\ 4)$
3. $(4;\ 4{,}2)$
4. $(4{,}2;\ 4\dfrac{1}{3})$
5. $(4\dfrac{1}{3};\ +\infty)$

Шаг 3: Определим знаки

Учитываем, что это произведение четырёх множителей, и каждый из них меняет знак при переходе через свой корень. Выбираем одну точку из каждого интервала и определим знак.

Проверка по знаку:

Шаг 4: Учитываем знак неравенства

Ищем:

$$x(x — 4)(x — 4{,}2)\left(x — 4\dfrac{1}{3}\right) < 0$$

Выбираем только те интервалы, где знак отрицателен:

• $(0;\ 4)$
• $(4{,}2;\ 4\dfrac{1}{3})$

Промежутки не включают корни, потому что знак строго «<«.

Ответ (б):

$$\boxed{{\displaystyle (0;4)\cup (\mathrm{4,2};4\frac{1}{3})}}$$