ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 286 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях k все точки графика функции:

а) y=x^2-4kx+k(k-1) расположены выше оси х;

б) y=-x^2+6kx+k(k+1) расположены ниже оси х;

в) y=kx^2+2(k+1)x+4k расположены ниже оси х?

a)
Найти значения \( k \):
\[
y = x^2 — 4kx + k(k — 1);
\]
Все точки выше оси \( O_x \):

\[
x^2 — 4kx + k(k — 1) > 0;
\]

\[
D = (4k)^2 — 4k(k — 1) < 0;
\]

\[
16k^2 — 4k^2 + 4k < 0;
\]

\[
12k^2 + 4k < 0;
\]

\[
4k(3k + 1) < 0;
\]

\[
-\frac{1}{3} < k < 0.
\]

Ответ:

\[
\left(-\frac{1}{3}; 0\right).
\]

б)
\[
y = -x^2 + 6kx + k(k + 1);
\]
Все точки ниже оси \( O_x \):

\[
-x^2 + 6kx + k(k + 1) < 0;
\]

\[
x^2 — 6kx — k(k + 1) > 0;
\]

\[
D = (6k)^2 + 4k(k + 1) < 0;
\]

\[
36k^2 + 4k^2 + 4k < 0;
\]

\[
40k^2 + 4k < 0;
\]

\[
4k(10k + 1) < 0;
\]

\[
-0.1 < k < 0.
\]

Ответ:

\[
(-0.1; 0).
\]

в)
\[
y = kx^2 + 2(k + 1)x + 4k;
\]
Все точки ниже оси \( O_x \):

\[
kx^2 + 2(k + 1)x + 4k < 0;
\]

\[
D = 4(k + 1)^2 — 4 \cdot k \cdot 4k < 0;
\]

\[
4k^2 + 8k + 4 — 16k^2 < 0;
\]

\[
12k^2 — 8k — 4 > 0;
\]

\[
3k^2 — 2k — 1 > 0;
\]

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{ тогда:}
\]

\[
k_1 = \frac{-2 — 4}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{3}, \quad k_2 = \frac{2 + 4}{2 \cdot 3} = 1;
\]

\[
(k + \frac{1}{3})(k — 1) > 0;
\]

\[
k < -\frac{1}{3}, \quad k > 1, \quad k < 0.
\]

Ответ:

\[
(-\infty; -\frac{1}{3}).
\]

а) Разбор:

Дано уравнение:

\( y = x^2 — 4kx + k(k — 1) \)

Шаг 1: Необходимо найти такие значения \( k \), при которых все точки выше оси \( O_x \), то есть для которых:

\( x^2 — 4kx + k(k — 1) > 0 \)

Шаг 2: Для этого находим дискриминант соответствующего квадратного уравнения:

\( D = (4k)^2 — 4k(k — 1) \)

Шаг 3: Упрощаем выражение для дискриминанта:

\( D = 16k^2 — 4k^2 + 4k = 12k^2 + 4k \)

Шаг 4: Для того чтобы уравнение не имело действительных корней, дискриминант должен быть меньше нуля:

\( 12k^2 + 4k < 0 \)

Шаг 5: Разделим обе стороны на 4:

\( 3k^2 + k < 0 \)

Шаг 6: Разбираем это неравенство:

\( 4k(3k + 1) < 0 \)

Шаг 7: Решаем неравенство для \( k \):

\( -\frac{1}{3} < k < 0 \)

Ответ: \( \left(-\frac{1}{3}; 0\right) \)

б) Разбор:

Дано уравнение:

\( y = -x^2 + 6kx + k(k + 1) \)

Шаг 1: Необходимо найти такие значения \( k \), при которых все точки ниже оси \( O_x \), то есть для которых:

\( -x^2 + 6kx + k(k + 1) < 0 \)

Шаг 2: Переносим все члены на одну сторону и получаем:

\( x^2 — 6kx — k(k + 1) > 0 \)

Шаг 3: Находим дискриминант соответствующего квадратного уравнения:

\( D = (6k)^2 + 4k(k + 1) \)

Шаг 4: Упрощаем выражение для дискриминанта:

\( D = 36k^2 + 4k^2 + 4k = 40k^2 + 4k \)

Шаг 5: Для того чтобы уравнение не имело действительных корней, дискриминант должен быть меньше нуля:

\( 40k^2 + 4k < 0 \)

Шаг 6: Разделим обе стороны на 4:

\( 10k^2 + k < 0 \)

Шаг 7: Разбираем это неравенство:

\( (2k + 3)(2k — 3) > 0 \)

Шаг 8: Решаем неравенство для \( k \):

\( -0.1 < k < 0 \)

Ответ: \( (1.5; +\infty) \)

в) Разбор:

Дано уравнение:

\( y = kx^2 + 2(k + 1)x + 4k \)

Шаг 1: Необходимо найти такие значения \( k \), при которых все точки ниже оси \( O_x \), то есть для которых:

\( kx^2 + 2(k + 1)x + 4k < 0 \)

Шаг 2: Находим дискриминант соответствующего квадратного уравнения:

\( D = 4(k + 1)^2 — 4 \cdot k \cdot 4k \)

Шаг 3: Упрощаем выражение для дискриминанта:

\( D = 4(k^2 + 2k + 1) — 16k^2 = 4k^2 + 8k + 4 — 16k^2 \)

Шаг 4: Упрощаем:

\( D = -12k^2 + 8k + 4 \)

Шаг 5: Для того чтобы уравнение не имело действительных корней, дискриминант должен быть меньше нуля:

\( -12k^2 + 8k + 4 > 0 \)

Шаг 6: Разделим обе стороны на -4, меняя знак неравенства:

\( 3k^2 — 2k — 1 > 0 \)

Шаг 7: Находим дискриминант для этого уравнения:

\( D = (-2)^2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 \)

Шаг 8: Находим корни уравнения:

\( k_1 = \frac{-2 — 4}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{3}, \quad k_2 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = 1 \)

Шаг 9: Решаем неравенство \( (k + \frac{1}{3})(k — 1) > 0 \):

Это неравенство выполняется при \( k < -\frac{1}{3} \) или \( k > 1 \). Но для того чтобы неравенство было верно при всех значениях \( x \), \( k \) должно быть отрицательным:

\( k < -\frac{1}{3} \)

Ответ: \( (-\infty; -\frac{1}{3}) \)