ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 286 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях k все точки графика функции:

а) $y=x^2-4kx+k(k-1)$ расположены выше оси х;

б) $y=-x^2+6kx+k(k+1)$ расположены ниже оси х;

в) $y=k{x}^2+2(k+1)x+4k$ расположены ниже оси х?

Найти значения $k$:

а) $$$y = x^2 — 4kx + k(k — 1)$;
Все точки выше оси $Ox$:
$x^2 — 4kx + k(k — 1) > 0$;
$D = (4k)^2 — 4k(k — 1) < 0$;
$16k^2 — 4k^2 + 4k < 0$;
$12k^2 + 4k < 0$;
$4k(3k + 1) < 0$;
$-\dfrac{1}{3} < k < 0$;

Ответ: $\left( -\dfrac{1}{3};\ 0 \right)$.

б) $$$y = -x^2 + 6kx + k(k + 1)$;
Все точки ниже оси $Ox$:
$-x^2 + 6kx + k(k + 1) < 0$;
$x^2 — 6kx — k(k + 1) > 0$;
$D = (6k)^2 + 4k(k + 1) < 0$;
$36k^2 + 4k^2 + 4k < 0$;
$40k^2 + 4k < 0$;
$4k(10k + 1) < 0$;
$-0{,}1 < k < 0$;

Ответ: $(-0{,}1;\ 0)$.

в) $$$y = kx^2 + 2(k + 1)x + 4k$;
Все точки ниже оси $Ox$:
$kx^2 + 2(k + 1)x + 4k < 0$;
$D = 4(k + 1)^2 — 4 \cdot k \cdot 4k < 0$;
$4k^2 + 8k + 4 — 16k^2 < 0$;
$-12k^2 + 8k + 4 < 0$;
$12k^2 — 8k — 4 > 0$;
$3k^2 — 2k — 1 > 0$;
$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$, тогда:
$k_1 = \dfrac{2 — 4}{2 \cdot 3} = -\dfrac{1}{3}$ и $k_2 = \dfrac{2 + 4}{2 \cdot 3} = 1$;
$\left( k + \dfrac{1}{3} \right)(k — 1) > 0$;
$k < -\dfrac{1}{3},\ k > 1,\ k < 0$;

Ответ: $\left( -\infty; -\dfrac{1}{3} \right)$.

а)

$$y = x^2 — 4kx + k(k — 1)$$

Условие:
Все точки графика лежат выше оси Ox ⇒ $y > 0$ при любом $x \in \mathbb{R}$.
Значит, всё выражение должно быть положительно при любом $x$:

$$x^2 — 4kx + k(k — 1) > 0 \quad \text{для всех } x \in \mathbb{R}$$

Шаг 1: Разбираем выражение

Это квадратный трёхчлен вида:

$$f(x) = ax^2 + bx + c = x^2 — 4kx + k(k — 1)$$

• $a = 1 > 0$: парабола открыта вверх
• Для выполнения условия $f(x) > 0$ при всех $x$, у параболы не должно быть корней ⇒ дискриминант должен быть меньше 0

Шаг 2: Вычисляем дискриминант $D$

$$D = b^2 — 4ac = (-4k)^2 — 4 \cdot 1 \cdot k(k — 1)$$ $$D = 16k^2 — 4k(k — 1)$$

Раскроем скобки:

$$D = 16k^2 — 4k^2 + 4k = 12k^2 + 4k$$

Шаг 3: Условие отсутствия корней

$$D < 0 \quad \Rightarrow \quad 12k^2 + 4k < 0$$

Вынесем общий множитель:

$$4k(3k + 1) < 0$$

Шаг 4: Решаем неравенство

Неравенство вида: $A \cdot B < 0$
Значит, выражение отрицательно, когда множители разных знаков.

Разберём множители:

• $4k$: знак зависит от $k$
• $3k + 1$: знак зависит от $k$

Найдём нули:

• $4k = 0 \Rightarrow k = 0$
• $3k + 1 = 0 \Rightarrow k = -\dfrac{1}{3}$

Разбиваем числовую прямую:

$$\text{Разметка: } \quad \dots\ -\dfrac{1}{3}\quad 0\quad \dots$$

Проверим знаки в интервалах:

Нам нужен случай $< 0$ ⇒

$$\boxed{ -\dfrac{1}{3} < k < 0 }$$

Ответ (а):

$$\boxed{ \left( -\dfrac{1}{3};\ 0 \right) }$$

б)

$$y = -x^2 + 6kx + k(k + 1)$$

Условие:
Все точки ниже оси Ox ⇒ $y < 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$

Шаг 1: Анализ функции

Функция:

$$f(x) = -x^2 + 6kx + k(k + 1)$$

• $a = -1 < 0$ ⇒ ветви вниз
• Требуется: $f(x) < 0$ для всех $x$

Шаг 2: Проверка по дискриминанту

Перепишем неравенство:

$$-x^2 + 6kx + k(k + 1) < 0$$

Чтобы избавиться от минуса при $x^2$, домножим на $-1$, меняя знак неравенства:

$$x^2 — 6kx — k(k + 1) > 0$$

Это квадратный трёхчлен, требуем, чтобы он был больше 0 всегда ⇒ нет корней, парабола вверх ⇒

$$D < 0$$

Шаг 3: Считаем дискриминант

$$D = (-6k)^2 + 4 \cdot 1 \cdot k(k + 1) = 36k^2 + 4k(k + 1)$$

Раскроем скобки:

$$D = 36k^2 + 4k^2 + 4k = 40k^2 + 4k$$

Шаг 4: Неравенство

$$40k^2 + 4k < 0 \quad \Rightarrow \quad 4k(10k + 1) < 0$$

Шаг 5: Решаем неравенство

Нули:

• $k = 0$
• $10k + 1 = 0 \Rightarrow k = -0{,}1$

Числовая прямая:

$$\text{Разметка: } \quad -0{,}1 \quad 0$$

Проверим знаки:

Нужен случай $< 0$:

$$\boxed{ -0{,}1 < k < 0 }$$

Ответ (б):

$$\boxed{ (-0{,}1;\ 0) }$$

в)

$$y = kx^2 + 2(k + 1)x + 4k$$

Условие:
Все точки ниже оси Ox ⇒ $y < 0$ при всех $x$

Шаг 1: Разбираем функцию

$$f(x) = kx^2 + 2(k + 1)x + 4k$$

Это квадратный трёхчлен:

• $a = k$: знак ветвей зависит от $k$
• Требуется: $f(x) < 0$ для всех $x$

Чтобы парабола была всегда ниже оси Ox:

• Ветви должны быть вверх ⇒ $k > 0$: это не подойдёт, т.к. $f(x) < 0$ невозможно
• Или — ветви вниз ⇒ $k < 0$, и у параболы нет корней

Проверим через дискриминант: $D < 0$

Шаг 2: Дискриминант

$$D = [2(k + 1)]^2 — 4 \cdot k \cdot 4k$$ $$= 4(k + 1)^2 — 16k^2$$

Раскроем:

$$4(k^2 + 2k + 1) — 16k^2 = 4k^2 + 8k + 4 — 16k^2$$ $$D = -12k^2 + 8k + 4$$

Требуем:

$$-12k^2 + 8k + 4 < 0 \quad \Rightarrow \quad 12k^2 — 8k — 4 > 0$$

Шаг 3: Решим неравенство

$$12k^2 — 8k — 4 > 0$$

Разделим на 4:

$$3k^2 — 2k — 1 > 0$$

Найдём корни:

$$D = (-2)^2 + 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 + 12 = 16$$ $$k_{1,2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \dfrac{2 \pm 4}{6}$$ $$k_1 = \dfrac{2 — 4}{6} = -\dfrac{1}{3}, \quad k_2 = \dfrac{2 + 4}{6} = 1$$

Шаг 4: Решаем неравенство

$$(3k^2 — 2k — 1) > 0 \Rightarrow (k + \dfrac{1}{3})(k — 1) > 0$$

По знакам:

Требуется: $> 0$ ⇒

$$k < -\dfrac{1}{3} \quad \text{или} \quad k > 1$$

Но! Напомним: в начале было условие $f(x) < 0$ для всех $x$ ⇒ парабола должна быть вниз ⇒ $k < 0$

Из двух промежутков подходит только $k < -\dfrac{1}{3}$

Ответ (в):

$$\boxed{ \left( -\infty;\ -\dfrac{1}{3} \right) }$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{ \left( -\dfrac{1}{3};\ 0 \right) }$

б) $\boxed{ (-0{,}1;\ 0) }$

в) $\boxed{{\displaystyle (-\mathrm{\infty };-\frac{1}{3})}}$