ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 283 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях m неравенство верно при любом х:

а) x^2+(2m-3)x+m^2-m+4 > 0; б) x^2+(2m-6)x+2m^2-m+3 > 0?

Верно при любом \( x \):

а)
\[
x^2 + (2m — 3)x + m^2 — m + 4 > 0;
\]

\[
D = (2m — 3)^2 — 4(m^2 — m + 4) < 0;
\]

\[
4m^2 — 12m + 9 — 4m^2 + 4m — 16 < 0;
\]

\[
8m > -7, \quad m > -\frac{7}{8};
\]

Ответ:

\[
\left(-\frac{7}{8}; +\infty \right).
\]

б)
\[
x^2 + (2m — 6)x + 2m^2 — m + 3 > 0;
\]

\[
D = (2m — 6)^2 — 4(2m^2 — m + 3) < 0;
\]

\[
4m^2 — 24m + 36 — 8m^2 + 4m — 12 < 0;
\]

\[
4m^2 + 20m — 24 > 0;
\]

\[
m^2 + 5m — 6 > 0;
\]

\[
D = 5^2 + 4 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49, \quad \text{тогда:}
\]

\[
m_1 = \frac{-5 — 7}{2} = -6, \quad m_2 = \frac{-5 + 7}{2} = 1;
\]

\[
(m + 6)(m — 1) > 0;
\]

\[
m < -6, \quad m > 1.
\]

Ответ:

\[
(-\infty; -6) \cup (1; +\infty).
\]

а) Разбор:

Дано неравенство:

\( x^2 + (2m — 3)x + m^2 — m + 4 > 0 \)

Шаг 1: Для того чтобы исследовать это неравенство, находим дискриминант квадратного уравнения:

\( D = (2m — 3)^2 — 4(m^2 — m + 4) \)

Шаг 2: Раскрываем скобки и упрощаем:

\( D = 4m^2 — 12m + 9 — 4m^2 + 4m — 16 \)

Шаг 3: Упрощаем выражение для дискриминанта:

\( D = 8m — 7 \)

Шаг 4: Для того чтобы неравенство было верно при любом \( x \), дискриминант должен быть меньше нуля:

\( 8m — 7 < 0 \)

Шаг 5: Решаем неравенство для \( m \):

\( 8m > -7, \quad m > -\frac{7}{8} \)

Ответ: \( \left( -\frac{7}{8}; +\infty \right) \)

б) Разбор:

Дано неравенство:

\( x^2 + (2m — 6)x + 2m^2 — m + 3 > 0 \)

Шаг 1: Для того чтобы исследовать это неравенство, находим дискриминант квадратного уравнения:

\( D = (2m — 6)^2 — 4(2m^2 — m + 3) \)

Шаг 2: Раскрываем скобки и упрощаем:

\( D = 4m^2 — 24m + 36 — 8m^2 + 4m — 12 \)

Шаг 3: Упрощаем выражение для дискриминанта:

\( D = -4m^2 — 20m + 24 \)

Шаг 4: Для того чтобы неравенство было верно при любом \( x \), дискриминант должен быть меньше нуля:

\( -4m^2 — 20m + 24 < 0 \)

Шаг 5: Умножаем обе стороны неравенства на -1, меняя знак:

\( 4m^2 + 20m — 24 > 0 \)

Шаг 6: Разбираем это квадратное неравенство:

\( m^2 + 5m — 6 > 0 \)

Шаг 7: Находим дискриминант для этого уравнения:

\( D = 5^2 — 4 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \)

Шаг 8: Находим корни уравнения:

\( m_1 = \frac{-5 — 7}{2} = -6, \quad m_2 = \frac{-5 + 7}{2} = 1 \)

Шаг 9: Решаем неравенство \( (m + 6)(m — 1) > 0 \):

Это неравенство выполняется при \( m < -6 \) или \( m > 1 \).

Ответ: \( (-\infty; -6) \cup (1; +\infty) \)