ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 279 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите множество значений x, удовлетворяющих совокупности неравенств:

а)\[
\begin{cases}
x^2 — 11x + 30 < 0 \\
0,3x — 1 > 0,6
\end{cases}
\]

б)\[
\begin{cases}
6x^2 — 11x + 4 < 0 \\
4x^2 — 13x + 9 < 0
\end{cases}
\]

Найти множество решений:

а)

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-11x+30<0,\\ \mathrm{0,3}x-1>\mathrm{0,6}\end{array}$$

Первое неравенство:
$x^2-11x+30<0;$
$D={11}^2-4\cdot 30=121-120=1$, тогда:
$x_1={\displaystyle \frac{11-1}{2}}={\displaystyle \frac{10}{2}}=5$ и $x_2={\displaystyle \frac{11+1}{2}}=6;$
$(x-5)(x-6)<0;$
$5<x<6;$

Второе неравенство:
$\mathrm{0,3}x-1>\mathrm{0,6};$
$\mathrm{0,3}x>\mathrm{1,6};$
$3x>16,$ $x>5{\displaystyle \frac{1}{3}};$

Ответ: 

б)

$$\{\begin{array}{l}6x^2-11x+4<0,\\ 4x^2-13x+9<0\end{array}$$

Первое неравенство:
$6x^2-11x+4<0;$
$D={11}^2-4\cdot 6\cdot 4=121-96=25$, тогда:
$x_1={\displaystyle \frac{11-5}{2\cdot 6}}=\mathrm{0,5}$ и $x_2={\displaystyle \frac{11+5}{2\cdot 6}}={\displaystyle \frac{16}{12}}={\displaystyle \frac{4}{3}};$
$(x-\mathrm{0,5})(x-{\displaystyle \frac{4}{3}})<0;$
$\mathrm{0,5}<x<{\displaystyle \frac{4}{3}};$

Второе неравенство:
$4x^2-13x+9<0;$
$D={13}^2-4\cdot 4\cdot 9=169-144=25$, тогда:
$x_1={\displaystyle \frac{13-5}{2\cdot 4}}=1$ и $x_2={\displaystyle \frac{13+5}{2\cdot 4}}={\displaystyle \frac{18}{8}}=\mathrm{2,25};$
$(x-1)(x-\mathrm{2,25})<0;$
$1<x<\mathrm{2,25.}$

Ответ: 

а)

$$\begin{cases} x^2 — 11x + 30 < 0, \\ 0{,}3x — 1 > 0{,}6 \end{cases}$$

Решим первое неравенство:

$$x^2 — 11x + 30 < 0$$

Это квадратное неравенство. Алгоритм решения:

1. Найдём дискриминант квадратного трёхчлена.
2. Найдём корни.
3. Определим, на каком промежутке выражение меньше нуля (знак трёхчлена между корнями).

1. Находим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = (-11)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 — 120 = 1$$

2. Находим корни квадратного уравнения:

Формула корней квадратного уравнения:

$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x = \dfrac{-(-11) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \dfrac{11 \pm 1}{2}$$ $$x_1 = \dfrac{11 — 1}{2} = \dfrac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \dfrac{11 + 1}{2} = \dfrac{12}{2} = 6$$

3. Анализ знаков на числовой прямой:

Т.к. старший коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы вверх. Значит, выражение:

$$x^2 — 11x + 30 < 0$$

Отрицательно между корнями:

$$(x — 5)(x — 6) < 0 \Rightarrow \boxed{5 < x < 6}$$

Решим второе неравенство:

$$0{,}3x — 1 > 0{,}6$$

1. Приводим неравенство к стандартному виду:

Переносим $-1$ вправо:

$$0{,}3x > 0{,}6 + 1 = 1{,}6$$

2. Делим обе части на 0,3:

$$x > \dfrac{1{,}6}{0{,}3}$$

Умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$$x > \dfrac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$$

Решим систему:

Система:

$$\begin{cases} 5 < x < 6 \\ x > 5\frac{1}{3} \end{cases}$$

На числовой прямой:

• Первое неравенство: $x \in (5; 6)$
• Второе неравенство: $x \in (5\frac{1}{3}; +\infty)$

Объединение условий системы — это пересечение интервалов:

$$(5; 6) \cap (5\frac{1}{3}; +\infty) = \boxed{\left(5\frac{1}{3}; 6\right)}$$

Ответ (а):

$$\boxed{(5\frac{1}{3}; 6)}$$

б)

$$\begin{cases} 6x^2 — 11x + 4 < 0, \\ 4x^2 — 13x + 9 < 0 \end{cases}$$

Решим первое неравенство:

$$6x^2 — 11x + 4 < 0$$

1. Вычисляем дискриминант:

$$D = (-11)^2 — 4 \cdot 6 \cdot 4 = 121 — 96 = 25$$

2. Находим корни:

$$x = \dfrac{-(-11) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \dfrac{11 \pm 5}{12}$$ $$x_1 = \dfrac{11 — 5}{12} = \dfrac{6}{12} = 0{,}5$$ $$x_2 = \dfrac{11 + 5}{12} = \dfrac{16}{12} = \dfrac{4}{3}$$

3. Знаки выражения:

Ветви вверх (т.к. $a = 6 > 0$). Значит:

$$6x^2 — 11x + 4 < 0 \Rightarrow \boxed{0{,}5 < x < \dfrac{4}{3}}$$

Решим второе неравенство:

$$4x^2 — 13x + 9 < 0$$

1. Вычисляем дискриминант:

$$D = (-13)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 9 = 169 — 144 = 25$$

2. Находим корни:

$$x = \dfrac{-(-13) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \dfrac{13 \pm 5}{8}$$ $$x_1 = \dfrac{13 — 5}{8} = \dfrac{8}{8} = 1$$ $$x_2 = \dfrac{13 + 5}{8} = \dfrac{18}{8} = 2{,}25$$

3. Знаки выражения:

Ветви вверх (т.к. $a = 4 > 0$). Значит:

$$4x^2 — 13x + 9 < 0 \Rightarrow \boxed{1 < x < 2{,}25}$$

Решим систему:

Система:

$$\begin{cases} 0{,}5 < x < \dfrac{4}{3} \\ 1 < x < 2{,}25 \end{cases}$$

Найдём пересечение интервалов:

Преобразуем $\dfrac{4}{3} = 1{,}333…$

• Первый интервал: $x \in (0{,}5; 1{,}333…)$
• Второй интервал: $x \in (1; 2{,}25)$

Пересечение:

$$(0{,}5; 1{,}333…) \cap (1; 2{,}25) = \boxed{(1; \dfrac{4}{3})}$$

Ответ (б):

$$\boxed{{\displaystyle (1;\frac{4}{3})}}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{\left(5\frac{1}{3};\ 6\right)}$
б) $\boxed{{\displaystyle (1;\frac{4}{3})}}$