ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 278 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите все целые числа, удовлетворяющие системе неравенств:

а) {t^2-3 < 0, t^2-2t < 0}; в) {2p^2-13p+6 < 0, 3p^2-28p+44 < 0};

б) {x^2-6x+5 < 0, x^2-4x+4 > 0}; г) {6x^2-35x+11 < 0, 2x^2-4,5x < -1}.

а)
Найти целые решения:
\[
\begin{cases}
t^3 — 3 < 0 \\
t^2 — 2t < 0
\end{cases}
\]

Первое неравенство:

\[
t^2 — 3 < 0;
\]

\[
(t + \sqrt{3})(t — \sqrt{3}) < 0;
\]

\[
-\sqrt{3} < t < \sqrt{3};
\]

Второе неравенство:

\[
t^2 — 2t < 0;
\]

\[
t(t — 2) < 0;
\]

\[
0 < t < 2;
\]

Ответ:

\[
t = 1.
\]

б)
Найти целые решения:
\[
\begin{cases}
x^2 — 6x + 5 < 0 \\
x^2 — 4x + 4 > 0
\end{cases}
\]

Первое неравенство:

\[
x^2 — 6x + 5 < 0;
\]

\[
D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16;
\]

\[
x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5;
\]

\[
(x — 1)(x — 5) < 0;
\]

\[
1 < x < 5;
\]

Второе неравенство:

\[
x^2 — 4x + 4 > 0;
\]

\[
(x — 2)^2 > 0;
\]

\[
x — 2 \neq 0, \quad x \neq 2;
\]

Ответ:

\[
x = 3; 4.
\]

в)
Найти целые решения:
\[
\begin{cases}
2p^2 — 13p + 6 < 0 \\
3p^2 — 28p + 44 < 0
\end{cases}
\]

Первое неравенство:

\[
2p^2 — 13p + 6 < 0;
\]

\[
D = 13^2 — 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 — 48 = 121;
\]

\[
p_1 = \frac{13 — 11}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad p_2 = \frac{13 + 11}{2 \cdot 2} = 6;
\]

\[
(p — \frac{1}{2})(p — 6) < 0;
\]

\[
\frac{1}{2} < p < 6;
\]

Второе неравенство:

\[
3p^2 — 28p + 44 < 0;
\]

\[
D = 28^2 — 4 \cdot 3 \cdot 44 = 784 — 528 = 256;
\]

\[
p_1 = \frac{28 — 16}{2 \cdot 3} = 2 \quad \text{и} \quad p_2 = \frac{28 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{22}{3} = 7 \frac{1}{3};
\]

\[
(p — 2)(p — 7 \frac{1}{3}) < 0;
\]

\[
2 < p < 7 \frac{1}{3};
\]

Ответ:

\[
p = 3; 4; 5.
\]

г)
Найти целые решения:
\[
\begin{cases}
6x^2 — 35x + 11 < 0 \\
2x^2 — 4,5x < -1
\end{cases}
\]

Первое неравенство:

\[
6x^2 — 35x + 11 < 0;
\]

\[
D = 35^2 — 4 \cdot 6 \cdot 11 = 1225 — 264 = 961;
\]

\[
x_1 = \frac{35 — 31}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{35 + 31}{2 \cdot 6} = 5,5;
\]

\[
(x — \frac{1}{3})(x — 5,5) < 0;
\]

\[
\frac{1}{3} < x < 5,5;
\]

Второе неравенство:

\[
2x^2 — 4,5x < -1;
\]

\[
4x^2 — 9x + 2 < 0;
\]

\[
D = 9^2 — 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 — 32 = 49;
\]

\[
x_1 = \frac{9 — 7}{2 \cdot 4} = \frac{1}{4} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{9 + 7}{2 \cdot 4} = 2;
\]

\[
(x — \frac{1}{4})(x — 2) < 0;
\]

\[
\frac{1}{4} < x < 2;
\]

Ответ:

\[
x = 1.
\]

Решение системы неравенств:

а) \( \begin{cases} t^3 — 3 < 0 \\ t^2 — 2t < 0 \end{cases} \)

Первое неравенство:

\[
t^3 — 3 < 0;
\]

Решение:

\[
-\sqrt{3} < t < \sqrt{3};
\]

Второе неравенство:

\[
t^2 — 2t < 0;
\]

Решение:

\[
0 < t < 2;
\]

Ответ: \( t = 1 \).

б) \( \begin{cases} x^2 — 6x + 5 < 0 \\ x^2 — 4x + 4 > 0 \end{cases} \)

Первое неравенство:

\[
x^2 — 6x + 5 < 0;
\]

Дискриминант:

\[
D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16;
\]

Корни:

\[
x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5;
\]

Неравенство:

\[
(x — 1)(x — 5) < 0;
\]

Решение:

\[
1 < x < 5;
\]

Второе неравенство:

\[
x^2 — 4x + 4 > 0;
\]

Решение:

\[
x \neq 2;
\]

Ответ: \( x = 3, 4 \).

в) \( \begin{cases} 2p^2 — 13p + 6 < 0 \\ 3p^2 — 28p + 44 < 0 \end{cases} \)

Первое неравенство:

\[
2p^2 — 13p + 6 < 0;
\]

Дискриминант:

\[
D = 13^2 — 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 — 48 = 121;
\]

Корни:

\[
p_1 = \frac{13 — 11}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad p_2 = \frac{13 + 11}{2 \cdot 2} = 6;
\]

Неравенство:

\[
(p + 2)(p — \frac{1}{6}) < 0;
\]

Решение:

\[
\frac{1}{2} < p < 6;
\]

Второе неравенство:

\[
3p^2 — 28p + 44 < 0;
\]

Дискриминант:

\[
D = 28^2 — 4 \cdot 3 \cdot 44 = 784 — 528 = 256;
\]

Корни:

\[
p_1 = \frac{28 — 16}{2 \cdot 3} = 2 \quad \text{и} \quad p_2 = \frac{28 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{22}{3} = 7 \frac{1}{3};
\]

Неравенство:

\[
(p — 2)(p — 7 \frac{1}{3}) < 0;
\]

Решение:

\[
2 < p < 7 \frac{1}{3};
\]

Ответ: \( p = 3, 4, 5 \).

г) \( \begin{cases} 6x^2 — 35x + 11 < 0 \\ 2x^2 — 4,5x < -1 \end{cases} \)

Первое неравенство:

\[
6x^2 — 35x + 11 < 0;
\]

Дискриминант:

\[
D = 35^2 — 4 \cdot 6 \cdot 11 = 1225 — 264 = 961;
\]

Корни:

\[
x_1 = \frac{35 — 31}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{35 + 31}{2 \cdot 6} = 5,5;
\]

Неравенство:

\[
(x — \frac{1}{3})(x — 5,5) < 0;
\]

Решение:

\[
\frac{1}{3} < x < 5,5;
\]

Второе неравенство:

\[
2x^2 — 4,5x < -1;
\]

Переводим неравенство:

\[
4x^2 — 9x + 2 < 0;
\]

Дискриминант:

\[
D = 9^2 — 4 \cdot 4 \cdot 2 = 49;
\]

Корни:

\[
x_1 = \frac{9 — 7}{2 \cdot 4} = \frac{1}{4} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{9 + 7}{2 \cdot 4} = 2;
\]

Неравенство:

\[
(x — \frac{1}{4})(x — 2) < 0;
\]

Решение:

\[
\frac{1}{4} < x < 2;
\]

Ответ: \( x = 1 \).