ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 273 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) (2x^2-x)/6 > (x+2)/2; в) (y^2+y)/11 > 4-y/33;

б) (x^2+1)/4-x-1 > 1/2; г) x^2/4-1-(x-7)/8 < 0.

Решить неравенство:

а)
\[
\frac{2x^2 — x}{6} > \frac{x + 2}{2};
\]

\[
2x^2 — x > 3(x + 2);
\]

\[
2x^2 — x > 3x + 6;
\]

\[
2x^2 — 4x — 6 > 0;
\]

\[
x^2 — 2x — 3 > 0.
\]

Дискриминант:
\[
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{ тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\]

\[
(x + 1)(x — 3) > 0;
\]

\[
x < -1, \quad x > 3.
\]
Ответ:

\[
(-\infty; -1) \cup (3; +\infty).
\]

б)
\[
\frac{x^2 + 1}{4} — x — 1 > \frac{1}{2};
\]

\[
x^2 + 1 — 4x — 4 > 2;
\]

\[
x^2 — 4x — 5 > 0.
\]

Дискриминант:
\[
D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36, \text{ тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5;
\]

\[
(x + 1)(x — 5) > 0;
\]

\[
x < -1, \quad x > 5.
\]

Ответ:

\[
(-\infty; -1) \cup (5; +\infty).
\]

в)
\[
\frac{y^2 + y}{11} > 4 — \frac{y}{33};
\]

\[
3(y^2 + y) > 4 \cdot 33 — y;
\]

\[
3y^2 + 3y > 132 — y;
\]

\[
3y^2 + 4y — 132 > 0.
\]

Дискриминант:

\[
D = 4^2 + 4 \cdot 3 \cdot 132 = 16 + 1584 = 1600, \text{ тогда:}
\]

\[
y_1 = \frac{-4 — 40}{2 \cdot 3} = -\frac{22}{3} = -7\frac{1}{3}, \quad y_2 = \frac{-4 + 40}{2 \cdot 3} = 6;
\]

\[
(y + 7\frac{1}{3})(y — 6) > 0;
\]

\[
y < -7\frac{1}{3}, \quad y > 6.
\]

Ответ:

\[
(-\infty; -7\frac{1}{3}) \cup (6; +\infty).
\]

г)
\[
\frac{x^2}{4} — 1 — \frac{x — 7}{8} < 0;
\]

\[
2x^2 — 8 — (x — 7) < 0;
\]

\[
2x^2 — 8 — x + 7 < 0;
\]

\[
2x^2 — x — 1 < 0.
\]

Дискриминант:

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = 1;
\]

\[
(x + \frac{1}{2})(x — 1) < 0;
\]

\[
-\frac{1}{2} < x < 1.
\]

Ответ

\[
\left(-\frac{1}{2}; 1\right).
\]

а) Решить неравенство:

$$\frac{2x^2 — x}{6} > \frac{x + 2}{2}$$

Шаг 1. Приведём к общему виду

Умножим обе части на 6 (ОК, так как положительно):

$$2x^2 — x > 3(x + 2) \Rightarrow 2x^2 — x > 3x + 6 \Rightarrow 2x^2 — 4x — 6 > 0$$

Разделим всё на 2:

$$x^2 — 2x — 3 > 0$$

Шаг 2. Найдём корни квадратного уравнения:

$$x^2 — 2x — 3 = 0$$ $$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$ $$x_1 = \frac{2 — \sqrt{16}}{2} = \frac{2 — 4}{2} = -1 \\ x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3$$

Шаг 3. Знаки на числовой прямой:

Разложим:

$$(x + 1)(x — 3) > 0$$

Знак произведения положителен:

• когда оба множителя положительны: $x > 3$
• когда оба отрицательны: $x < -1$

Ответ (а):

$$\boxed{(-\infty;\ -1) \cup (3;\ +\infty)}$$

б) Решить неравенство:

$$\frac{x^2 + 1}{4} — x — 1 > \frac{1}{2}$$

Шаг 1. Приводим к общему виду

Умножим обе части на 4:

$$x^2 + 1 — 4x — 4 > 2 \Rightarrow x^2 — 4x — 3 > 2 \Rightarrow x^2 — 4x — 5 > 0$$

Шаг 2. Найдём корни:

$$x^2 — 4x — 5 = 0$$ $$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$ $$x_1 = \frac{4 — \sqrt{36}}{2} = \frac{4 — 6}{2} = -1 \\ x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5$$

Шаг 3. Знаки:

$$(x + 1)(x — 5) > 0$$

Знак положителен при $x < -1$ или $x > 5$

Ответ (б):

$$\boxed{(-\infty;\ -1) \cup (5;\ +\infty)}$$

в) Решить неравенство:

$$\frac{y^2 + y}{11} > 4 — \frac{y}{33}$$

Шаг 1. Избавимся от знаменателей

Умножим обе части на 33:

$$3(y^2 + y) > 132 — y \Rightarrow 3y^2 + 3y + y — 132 > 0 \Rightarrow 3y^2 + 4y — 132 > 0$$

Шаг 2. Найдём корни:

$$3y^2 + 4y — 132 = 0$$ $$D = 4^2 + 4 \cdot 3 \cdot 132 = 16 + 1584 = 1600 \Rightarrow \sqrt{D} = 40$$ $$y_1 = \frac{-4 — 40}{2 \cdot 3} = \frac{-44}{6} = -\frac{22}{3} = -7\frac{1}{3} \\ y_2 = \frac{-4 + 40}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6$$

Шаг 3. Знаки:

$$(y + 7\frac{1}{3})(y — 6) > 0$$

Положительно при $y < -7\frac{1}{3}$ или $y > 6$

Ответ (в):

$$\boxed{(-\infty;\ -7\frac{1}{3}) \cup (6;\ +\infty)}$$

г) Решить неравенство:

$$\frac{x^2}{4} — 1 < \frac{x — 7}{8}$$

Шаг 1. Умножим обе части на 8:

$$2x^2 — 8 < x — 7 \Rightarrow 2x^2 — x — 1 < 0$$

Шаг 2. Решим квадратное неравенство:

$$2x^2 — x — 1 < 0$$ $$D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \Rightarrow \sqrt{D} = 3$$ $$x_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \\ x_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$$

Шаг 3. Знаки:

$$(x + \frac{1}{2})(x — 1) < 0$$

Отрицательно на интервале:

$$x \in \left(-\frac{1}{2};\ 1\right)$$

Ответ (г):

$$\boxed{\left(-\frac{1}{2};\ 1\right)}$$

Окончательные ответы:

а) $\boxed{(-\infty;\ -1) \cup (3;\ +\infty)}$
б) $\boxed{(-\infty;\ -1) \cup (5;\ +\infty)}$
в) $\boxed{(-\infty;\ -7\frac{1}{3}) \cup (6;\ +\infty)}$
г) $\boxed{\left(-\frac{1}{2};\ 1\right)}$