ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 270 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) y=sgn(x^2+3x-4);

б) y=sgn(4x^2+3x-1).

Построить график функции:

a) \(y = \text{sgn}(x^2 + 3x — 4)\);

\(x^2 + 3x — 4 > 0\);

\(D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25\), тогда:

\[
x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1;
\]

\((x + 4)(x — 1) > 0\);

\(x < -4, \, x > 1\);

График функции:

б) \(y = \text{sgn}(4x^2 + 3x — 1)\);

\(4x^2 + 3x — 1 > 0\);

\(D = 3^2 + 4 \cdot 4 \cdot 1 = 9 + 16 = 25\), тогда:

\[
x_1 = \frac{-3 — 5}{2 \cdot 4} = -1, \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 4} = \frac{1}{4};
\]

\((x + 1)(x — \frac{1}{4}) > 0\);

\(x < -1, \, x > \frac{1}{4}\);

График функции:

Функция $y = \mathrm{sgn}(f(x))$ принимает значения:

• $y = 1$, если $f(x) > 0$
• $y = 0$, если $f(x) = 0$
• $y = -1$, если $f(x) < 0$

а) $y = \mathrm{sgn}(x^2 + 3x — 4)$

Шаг 1. Найдём, где $x^2 + 3x — 4 = 0$

Это квадратное уравнение:

$$x^2 + 3x — 4 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$

Найдём корни:

$$x_{1} = \frac{-3 — \sqrt{25}}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \\ x_{2} = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Корни: $x = -4$ и $x = 1$

Шаг 2. Исследуем знаки на интервалах

Разложим:

$$x^2 + 3x — 4 = (x + 4)(x — 1)$$

Теперь определим знак выражения на промежутках:

• На интервале $x < -4$:
  Пример: $x = -5$:
  $(x + 4)(x — 1) = (-1)(-6) = 6 > 0 \Rightarrow y = 1$
• В точке $x = -4$:
  $x^2 + 3x — 4 = 0 \Rightarrow y = 0$
• На интервале $-4 < x < 1$:
  Пример: $x = 0$:
  $(0 + 4)(0 — 1) = 4 \cdot (-1) = -4 < 0 \Rightarrow y = -1$
• В точке $x = 1$:
  $x^2 + 3x — 4 = 0 \Rightarrow y = 0$
• На интервале $x > 1$:
  Пример: $x = 2$:
  $(2 + 4)(2 — 1) = 6 > 0 \Rightarrow y = 1$

Шаг 3. Окончательный вид графика

Функция:

$$y = \begin{cases} 1, & x < -4 \ \text{или} \ x > 1 \\ 0, & x = -4 \ \text{или} \ x = 1 \\ -1, & -4 < x < 1 \end{cases}$$

На графике:

• Горизонтальный отрезок на высоте $y = 1$, кроме дырок в точках $-4$ и $1$
• Горизонтальный отрезок $y = -1$ между $-4$ и $1$
• Точки:
  • Закрашенная точка на $y = -1$, в пределах интервала
  • Пустые кружки на $x = -4$ и $x = 1$, где $y = 0$

б) $y = \mathrm{sgn}(4x^2 + 3x — 1)$

Шаг 1. Найдём нули квадратного выражения

Решим:

$$4x^2 + 3x — 1 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$$

Корни:

$$x_{1} = \frac{-3 — 5}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1 \\ x_{2} = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$

Шаг 2. Исследуем знаки

Разложим:

$$4x^2 + 3x — 1 = 4(x + 1)(x — \frac{1}{4})$$

Теперь определим знак выражения:

• $x < -1$:
  Пример: $x = -2$:
  $(x + 1)(x — \frac{1}{4}) = (-1)(-2.25) = 2.25 > 0 \Rightarrow y = 1$
• $x = -1$:
  $y = 0$
• $-1 < x < \frac{1}{4}$:
  Пример: $x = 0$:
  $(x + 1)(x — \frac{1}{4}) = (1)(-0.25) = -0.25 < 0 \Rightarrow y = -1$
• $x = \frac{1}{4}$:
  $y = 0$
• $x > \frac{1}{4}$:
  Пример: $x = 1$:
  $(x + 1)(x — \frac{1}{4}) = (2)(0.75) > 0 \Rightarrow y = 1$

Шаг 3. Окончательный вид графика

Функция:

$$y = \begin{cases} 1, & x < -1 \ \text{или} \ x > \frac{1}{4} \\ 0, & x = -1 \ \text{или} \ x = \frac{1}{4} \\ -1, & -1 < x < \frac{1}{4} \end{cases}$$

На графике:

• Горизонтальные участки на:
  • $y = 1$: при $x < -1$ и $x > \frac{1}{4}$
  • $y = -1$: на интервале $(-1, \frac{1}{4})$
• Точки:
  • Открытые кружки на $x = -1$ и $x = \frac{1}{4}$, где $y=0$