ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 269 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) 6x^2-x < 0; в) 8x^2?11x; д) x^2 < 9;

б) 7x^2+8 > 0; г) x^2 < 5x; е) x^2 > 16.

Решить неравенство:

a) \(6x^2 — x < 0\);

\(x(6x — 1) < 0\);

\(0 < x < \frac{1}{6}\);

Ответ: \((0; \frac{1}{6})\).

б) \(7x^2 + 8 > 0\);

Ответ: \((-\infty; +\infty)\).

в) \(8x^2 \geq 11x\);

\(x(8x — 11) \geq 0\);

\(x \leq 0, \, x \geq \frac{11}{8}\);

Ответ: \((-\infty; 0] \cup [\frac{11}{8}; +\infty)\).

г) \(x^2 < 5x\);

\(x(x — 5) < 0\);

\(0 < x < 5\);

Ответ: \((0; 5)\).

д) \(x^2 < 9\);

\(x^2 — 9 < 0\);

\((x + 3)(x — 3) < 0\);

\(-3 < x < 3\);

Ответ: \((-3; 3)\).

е) \(x^2 > 16\);

\(x^2 — 16 > 0\);

\((x + 4)(x — 4) > 0\);

\(x < -4, \, x > 4\);

Ответ: \((-\infty; -4) \cup (4; +\infty)\).

Решение неравенств:

a) \( 6x^2 — x < 0 \);

1. Преобразуем неравенство:

Начнем с представления неравенства в виде произведения:

\[
x(6x — 1) < 0;
\]

2. Теперь решаем неравенство:

Найдем нули произведения. Для этого приравняем каждое из множителей к нулю:

\[
x = 0, \quad 6x — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{6}.
\]

3. Определим знак выражения \( x(6x — 1) \) на интервалах \( (-\infty, 0) \), \( (0, \frac{1}{6}) \), и \( (\frac{1}{6}, +\infty) \).

Для этого подставим значения из каждого интервала:

На интервале \( (-\infty, 0) \) подставим \( x = -1 \): \( (-1)(6(-1) — 1) = (-1)(-7) = 7 > 0 \);

На интервале \( (0, \frac{1}{6}) \) подставим \( x = \frac{1}{4} \): \( \left(\frac{1}{4}\right)\left(6\left(\frac{1}{4}\right) — 1\right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} > 0 \);

На интервале \( (\frac{1}{6}, +\infty) \) подставим \( x = 1 \): \( (1)(6(1) — 1) = (1)(5) = 5 > 0 \);

Таким образом, на интервале \( 0 < x < \frac{1}{6} \) функция принимает отрицательные значения.

Ответ: \( (0; \frac{1}{6}) \).

b) \( 7x^2 + 8 > 0 \);

1. Это квадратное неравенство:

Мы видим, что \( 7x^2 + 8 \) всегда больше 0, так как для всех \( x \in \mathbb{R} \), \( 7x^2 \geq 0 \), и 8 — положительная константа. Следовательно, это неравенство выполняется для всех значений \( x \).

Ответ: \( (-\infty; +\infty) \).

в) \( 8x^2 \geq 11x \);

1. Преобразуем неравенство:

\[
x(8x — 11) \geq 0;
\]

2. Находим нули произведения:

\[
x = 0, \quad 8x — 11 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{11}{8}.
\]

3. Определим знак выражения \( x(8x — 11) \) на интервалах \( (-\infty, 0) \), \( (0, \frac{11}{8}) \), и \( (\frac{11}{8}, +\infty) \):

На интервале \( (-\infty, 0) \) подставим \( x = -1 \): \( (-1)(8(-1) — 11) = (-1)(-19) = 19 > 0 \);

На интервале \( (0, \frac{11}{8}) \) подставим \( x = 1 \): \( (1)(8(1) — 11) = (1)(-3) = -3 < 0 \);

На интервале \( (\frac{11}{8}, +\infty) \) подставим \( x = 2 \): \( (2)(8(2) — 11) = (2)(5) = 10 > 0 \);

Таким образом, на интервале \( (-\infty; 0] \cup [\frac{11}{8}; +\infty) \) неравенство выполняется.

Ответ: \( (-\infty; 0] \cup [\frac{11}{8}; +\infty) \).

г) \( x^2 < 5x \);

1. Преобразуем неравенство:

\[
x(x — 5) < 0;
\]

2. Находим нули произведения:

\[
x = 0, \quad x — 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 5.
\]

3. Определим знак выражения \( x(x — 5) \) на интервалах \( (-\infty, 0) \), \( (0, 5) \), и \( (5, +\infty) \):

На интервале \( (-\infty, 0) \) подставим \( x = -1 \): \( (-1)(-1 — 5) = (-1)(-6) = 6 > 0 \);

На интервале \( (0, 5) \) подставим \( x = 2 \): \( (2)(2 — 5) = (2)(-3) = -6 < 0 \);

На интервале \( (5, +\infty) \) подставим \( x = 6 \): \( (6)(6 — 5) = (6)(1) = 6 > 0 \);

Таким образом, на интервале \( 0 < x < 5 \) неравенство выполняется.

Ответ: \( (0; 5) \).

д) \( x^2 < 9 \);

1. Преобразуем неравенство:

\[
x^2 — 9 < 0;
\]

2. Раскладываем на множители:

\[
(x + 3)(x — 3) < 0;
\]

3. Определим знак выражения \( (x + 3)(x — 3) \) на интервалах \( (-\infty, -3) \), \( (-3, 3) \), и \( (3, +\infty) \):

На интервале \( (-\infty, -3) \) подставим \( x = -4 \): \( (-4 + 3)(-4 — 3) = (-1)(-7) = 7 > 0 \);

На интервале \( (-3, 3) \) подставим \( x = 0 \): \( (0 + 3)(0 — 3) = (3)(-3) = -9 < 0 \);

На интервале \( (3, +\infty) \) подставим \( x = 4 \): \( (4 + 3)(4 — 3) = (7)(1) = 7 > 0 \);

Таким образом, на интервале \( -3 < x < 3 \) неравенство выполняется.

Ответ: \( (-3; 3) \).

е) \( x^2 > 16 \);

1. Преобразуем неравенство:

\[
x^2 — 16 > 0;
\]

2. Раскладываем на множители:

\[
(x + 4)(x — 4) > 0;
\]

3. Определим знак выражения \( (x + 4)(x — 4) \) на интервалах \( (-\infty, -4) \), \( (-4, 4) \), и \( (4, +\infty) \):

На интервале \( (-\infty, -4) \) подставим \( x = -5 \): \( (-5 + 4)(-5 — 4) = (-1)(-9) = 9 > 0 \);

На интервале \( (-4, 4) \) подставим \( x = 0 \): \( (0 + 4)(0 — 4) = (4)(-4) = -16 < 0 \);

На интервале \( (4, +\infty) \) подставим \( x = 5 \): \( (5 + 4)(5 — 4) = (9)(1) = 9 > 0 \);

Таким образом, на интервалах \( x < -4 \) и \( x > 4 \) неравенство выполняется.

Ответ: \( (-\infty; -4) \cup (4; +\infty) \).