ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 267 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Изобразите схематически график функции y=(x-4)/(x+3). Какова область определения функции? Укажите промежутки возрастания и убывания функции, если они существуют.

Изобразить график функции:
\[
y = \frac{x — 4}{x + 3} = \frac{x + 3 — 7}{x + 3} = 1 — \frac{7}{x + 3};
\]

График:

Свойства функции:

\[
D(x) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty);
\]
Функция возрастает на:

\[
(-\infty; -3) \cup (-3; +\infty).
\]

Рассмотрим уравнение функции:

\[
y = \frac{x — 4}{x + 3} = \frac{x + 3 — 7}{x + 3} = 1 — \frac{7}{x + 3};
\]

1. Разберем преобразования выражения:

Первоначальное уравнение \( y = \frac{x — 4}{x + 3} \) можно представить в виде разности:

\[
y = \frac{x + 3 — 7}{x + 3} = 1 — \frac{7}{x + 3};
\]

Таким образом, выражение \( y \) представляется как функция \( 1 — \frac{7}{x + 3} \).

2. Область определения функции:

Функция имеет дробь с знаменателем \( x + 3 \). Чтобы функция была определена, знаменатель не должен быть равен нулю:

\[
x + 3 \neq 0, \quad x \neq -3;
\]

Следовательно, область определения функции:

\[
D(x) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty);
\]

3. Возрастание функции:

Чтобы определить, на каком интервале функция возрастает, нужно рассмотреть знак производной функции \( y \). Производная функции \( y = 1 — \frac{7}{x + 3} \) по \( x \) вычисляется следующим образом:

\[
y’ = 0 — \frac{7}{(x + 3)^2} = — \frac{7}{(x + 3)^2};
\]

Поскольку \( (x + 3)^2 > 0 \) для всех значений \( x \neq -3 \), производная всегда отрицательна. Это означает, что функция убывает на всей области определения, исключая точку \( x = -3 \).

Таким образом, функция возрастает на интервалах:

\[
(-\infty; -3) \cup (-3; +\infty);
\]

Ответ: функция возрастает на интервалах \( (-\infty; -3) \) и \( (-3; +\infty) \).