ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 266 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Парабола y=ax^2+bx+c проходит через точку A(1; —3). Найдите а, b и с, если известно, что вершиной параболы является точка B(0,5; -4).

Дана парабола:
\[
y = ax^2 + bx + c;
\]

1) Вершина в \(B(0,5; -4)\):
\[
x_0 = -\frac{b}{2a} = 0,5, \quad b = -a;
\]

\[
y_0 = 0,25a + 0,5b + c = -4;
\]

\[
0,25a — 0,5a + c = -4;
\]

\[
c = 0,25a — 4;
\]

2) Проходит через \(A(1; -3)\):
\[
y(1) = a + b + c = -3;\]

\[
a — a + 0,25a — 4 = -3;
\]

\[
0,25a = 1, \quad a = 4, \quad b = -4;
\]

\[
c = 1 — 4 = -3;
\]

Ответ:
\(a = 4; \, b = -4; \, c = -3.\)

Задача: Найти коэффициенты параболы \(y = ax^2 + bx + c\), если вершина находится в точке \(B(0.5; -4)\) и парабола проходит через точку \(A(1; -3)\).

Решение:

Шаг 1: Используем координаты вершины. Известно, что для параболы вершина находится в точке \((x_0; y_0)\), и для её координаты выполняется формула:

\(x_0 = -\frac{b}{2a}\), где \(x_0 = 0.5\).

Таким образом:

\(-\frac{b}{2a} = 0.5\), откуда \(b = -a\).

Шаг 2: Подставляем \(x_0 = 0.5\) и \(y_0 = -4\) в уравнение параболы для вычисления \(c\):

\(y_0 = 0.25a + 0.5b + c = -4\).

Подставляем \(b = -a\) в это уравнение:

\(0.25a — 0.5a + c = -4\).

Упростим:

\(-0.25a + c = -4\),

\(c = 0.25a — 4\).

Шаг 3: Используем точку \(A(1; -3)\). Подставляем \(x = 1\) и \(y = -3\) в уравнение параболы:

\(y(1) = a + b + c = -3\),

подставляем \(b = -a\) и \(c = 0.25a — 4\):

\(a — a + 0.25a — 4 = -3\),

\(0.25a — 4 = -3\).

Шаг 4: Решаем уравнение:

\(0.25a = 1\),

\(a = 4\).

Шаг 5: Теперь, когда мы знаем \(a = 4\), подставим это значение в выражение для \(b\):

\(b = -a = -4\).

Шаг 6: Подставим \(a = 4\) в выражение для \(c\):

\(c = 0.25a — 4 = 0.25 \cdot 4 — 4 = 1 — 4 = -3\).

Ответ: \(a = 4\); \(b = -4\); \(c = -3\).