ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 262 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

С помощью графиков выясните, сколько корней имеет уравнение 6/(x+2)=x^3, и найдите приближённо значения его корней.

Решить графически уравнение:

\[
\frac{6}{x + 2} = x^3, \quad f(x) = \frac{6}{x + 2}, \quad g(x) = x^3;
\]

Уточним корни:

\[
f(1) = \frac{6}{3} — 1 = 1;
\]

\[
f(1,2) = \frac{6}{3,2} — 1,728 = 0,147;
\]

\[
f(1,3) = \frac{6}{3,3} — 2,197 \approx -0,38;
\]

\[
f(-3) = \frac{6}{-1} + 27 = 21;
\]

\[
f(-2,4) = \frac{6}{-0,4} + 13,824 = -1,176;
\]

\[
f(2,5) = \frac{6}{0,5} + 15,625 = 3,625;
\]

Ответ:
\(x_1 \approx 1,2;\)

\(x_2 \approx -2,4.\)

Решить графически уравнение:

$$\frac{6}{x + 2} = x^3$$

Обозначим:

• $f(x) = \dfrac{6}{x + 2}$ — обратная дробно-рациональная функция
• $g(x) = x^3$ — кубическая функция

Найти такие значения $x$, при которых:

$$f(x) = g(x)$$

Анализ функций

1. Функция $f(x) = \dfrac{6}{x + 2}$:

• Область определения: $x \ne -2$
• Имеет вертикальную асимптоту при $x = -2$
• При $x \to -2^+$, $f(x) \to +\infty$; при $x \to -2^-$, $f(x) \to -\infty$
• Поведение как у гиперболы, сдвинутой на 2 единицы влево

2. Функция $g(x) = x^3$:

• Область определения: $\mathbb{R}$
• Кубическая монотонно возрастающая функция
• Проходит через начало координат
• Симметрична относительно начала координат

Смысл графического решения

Найти точки пересечения графиков $f(x)$ и $g(x)$, то есть значения $x$, при которых:

$$\frac{6}{x + 2} = x^3 \quad \Longleftrightarrow \quad x^3(x + 2) = 6$$

Решение проводится графически — на графике видно две точки пересечения: одна справа от нуля, вторая слева от $-2$.

Уточнение корней

1. Правая точка пересечения (между 1 и 1.3)

Проверим значения:

• $x = 1$:
  $f(1) = \frac{6}{3} = 2$,
  $g(1) = 1$
  → $f(x) > g(x)$
• $x = 1.2$:
  $f(1.2) = \frac{6}{3.2} \approx 1.875$,
  $g(1.2) = 1.728$
  → $f(x) > g(x)$
• $x = 1.3$:
  $f(1.3) = \frac{6}{3.3} \approx 1.818$,
  $g(1.3) = 2.197$
  → $f(x) < g(x)$

Следовательно, точка пересечения находится между $x = 1.2$ и $x = 1.3$

Дополнительно:

• $x = 1.25$:
  $f(1.25) = \frac{6}{3.25} \approx 1.846$,
  $g(1.25) = 1.953$
  → $f(x) < g(x)$

Следовательно, пересечение ближе к $x \approx 1.22$

Округлённый результат:

$$x_1 \approx 1.2$$

2. Левая точка пересечения (между -3 и -2)

Проверим значения:

• $x = -3$:
  $f(-3) = \frac{6}{-1} = -6$,
  $g(-3) = -27$
  → $f(x) > g(x)$
• $x = -2.4$:
  $f(-2.4) = \frac{6}{-0.4} = -15$,
  $g(-2.4) \approx -13.824$
  → $f(x) < g(x)$
• $x = -2.5$:
  $f(-2.5) = \frac{6}{-0.5} = -12$,
  $g(-2.5) = -15.625$
  → $f(x) > g(x)$

Следовательно, пересечение находится между $x = -2.5$ и $x = -2.4$

Приближённо:

$$x_2 \approx -2.4$$

Ответ:

$$\boxed{x_1 \approx 1.2,\quad x_2 \approx -2.4}$$