ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 261 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение, выполнив предварительно преобразование его левой части:

а) (x^3-x)/(x^2+3x-1)^2=2/27

б) (x^2-2x+5)^2/(x^3+5x)=2 2/3.

Решить уравнение:

a)
\[
\frac{x^3 — x}{(x^2 + 3x — 1)^2} = \frac{2}{27};
\]

\[
\frac{x — \frac{1}{x}}{(x + 3 — \frac{1}{x})^2} = \frac{2}{27};
\]

Пусть \(y = x — \frac{1}{x}\), тогда:

\[
\frac{y}{(y + 3)^2} = \frac{2}{27};
\]

\[
27y = 2(y + 3)^2;
\]

\[
27y = 2y^2 + 12y + 18;
\]

\[
2y^2 — 15y + 18 = 0;
\]

\[
D = 15^2 — 4 \cdot 2 \cdot 18 = 225 — 144 = 81, \, \text{тогда:}
\]

\[
y_1 = \frac{15 — 9}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, \quad y_2 = \frac{15 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6;
\]

Первое уравнение:

\[
x — \frac{1}{x} = \frac{3}{2};
\]

\[
2x^2 — 3x — 2 = 0;
\]

\[
D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25, \, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{3 — 5}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = 2;
\]

Второе уравнение:

\[
x — \frac{1}{x} = 6;
\]

\[
x^2 — 6x — 1 = 0;
\]

\[
D = 6^2 + 4 \cdot 1 = 36 + 4 = 40, \, \text{тогда:}
\]

\[
x = \frac{6 \pm \sqrt{40}}{2} = 3 \pm \sqrt{10};
\]

Ответ: \(-\frac{1}{2}; 2; 3 \pm \sqrt{10}\).

b)
\[
\frac{(x^2 — 2x + 5)^2}{x^3 + 5x} = \frac{2}{3};
\]

\[
\frac{\left(x — 2 + \frac{5}{x}\right)^2}{x + \frac{5}{x}} = \frac{8}{3};
\]

Пусть \(y = x + \frac{5}{x}\), тогда:

\[
\frac{(y — 2)^2}{y} = \frac{8}{3};
\]

\[
3(y — 2)^2 = 8y;
\]

\[
3y^2 — 12y + 12 = 8y;
\]

\[
3y^2 — 20y + 12 = 0;
\]

\[
D = 20^2 — 4 \cdot 3 \cdot 12 = 400 — 144 = 256, \, \text{тогда:}
\]

\[
y_1 = \frac{20 — 16}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}, \quad y_2 = \frac{20 + 16}{2 \cdot 3} = 6;
\]

Первое уравнение:

\[
x + \frac{5}{x} = \frac{2}{3};
\]

\[
3x^2 — 2x + 15 = 0;
\]

\[
D = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot 15 = 4 — 180 < 0, \, \text{значит корней нет}.
\]

Второе уравнение:

\[
x + \frac{5}{x} = 6;
\]

\[
x^2 — 6x + 5 = 0;
\]

\[
D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16, \, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5;
\]

Ответ: \(1; 5\).

а) Уравнение:
\(\frac{x^3 — x}{(x^2 + 3x — 1)^2} = \frac{2}{27}\)

Приводим уравнение к более удобному виду:

\(\frac{x — \frac{1}{x}}{(x + 3 — \frac{1}{x})^2} = \frac{2}{27}\)

Пусть \(y = x — \frac{1}{x}\), тогда уравнение становится:

\(\frac{y}{(y + 3)^2} = \frac{2}{27}\)

Умножаем обе стороны на \((y + 3)^2\) для удаления знаменателя:

\(27y = 2(y + 3)^2\)

Раскрываем скобки:

\(27y = 2y^2 + 12y + 18\)

Переносим все слагаемые на одну сторону:

\(2y^2 — 15y + 18 = 0\)

Находим дискриминант:

\(D = 15^2 — 4 \cdot 2 \cdot 18 = 225 — 144 = 81\)

Находим корни уравнения:

\(y_1 = \frac{15 — 9}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, \quad y_2 = \frac{15 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6\)

Решаем первое уравнение \(x — \frac{1}{x} = \frac{3}{2}\):

\(2x^2 — 3x — 2 = 0\)

Находим дискриминант:

\(D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25\)

Находим корни уравнения:

\(x_1 = \frac{3 — 5}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = 2\)

Решаем второе уравнение \(x — \frac{1}{x} = 6\):

\(x^2 — 6x — 1 = 0\)

Находим дискриминант:

\(D = 6^2 + 4 \cdot 1 = 36 + 4 = 40\)

Находим корни уравнения:

\(x = \frac{6 \pm \sqrt{40}}{2} = 3 \pm \sqrt{10}\)

Ответ: \(-\frac{1}{2}; 2; 3 \pm \sqrt{10}\).

б) Уравнение:
\(\frac{(x^2 — 2x + 5)^2}{x^3 + 5x} = \frac{2}{3}\)

Приводим уравнение к более удобному виду:

\(\frac{\left(x — 2 + \frac{5}{x}\right)^2}{x + \frac{5}{x}} = \frac{8}{3}\)

Пусть \(y = x + \frac{5}{x}\), тогда уравнение становится:

\(\frac{(y — 2)^2}{y} = \frac{8}{3}\)

Умножаем обе стороны на \(y\) для удаления знаменателя:

\(3(y — 2)^2 = 8y\)

Раскрываем скобки:

\(3y^2 — 12y + 12 = 8y\)

Переносим все слагаемые на одну сторону:

\(3y^2 — 20y + 12 = 0\)

Находим дискриминант:

\(D = 20^2 — 4 \cdot 3 \cdot 12 = 400 — 144 = 256\)

Находим корни уравнения:

\(y_1 = \frac{20 — 16}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}, \quad y_2 = \frac{20 + 16}{2 \cdot 3} = 6\)

Решаем первое уравнение \(x + \frac{5}{x} = \frac{2}{3}\):

\(3x^2 — 2x + 15 = 0\)

Находим дискриминант:

\(D = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot 15 = 4 — 180 = -176\)

Так как дискриминант меньше нуля, корней нет.

Решаем второе уравнение \(x + \frac{5}{x} = 6\):

\(x^2 — 6x + 5 = 0\)

Находим дискриминант:

\(D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16\)

Находим корни уравнения:

\(x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5\)

Ответ: \(1; 5\).