ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 260 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения, удовлетворяющие условию x < v7/5:

а) x^3+1/x^3=8 1/9(x+1/x); б) x^3-1/x^3=5 1/4(x-1/x); в) x^3-1/x^3=7(x-1/x).

Найти корни: \(x < \frac{\sqrt{7}}{5}\)

a)
\[
x^3 + \frac{1}{x^3} = 8 \cdot \frac{1}{9} \left(x + \frac{1}{x}\right);
\]

\[
\left(x + \frac{1}{x}\right) \left(x^2 — 1 + \frac{1}{x^2}\right) = \frac{73}{9} \left(x + \frac{1}{x}\right);
\]

\[
9x^2 — 9 + \frac{9}{x^2} = 73;
\]

\[
9x^4 — 82x^2 + 9 = 0;
\]

\[
D = 82^2 — 4 \cdot 9 \cdot 9 = 6724 — 324 = 6400, \, \text{тогда:}
\]

\[
x^2_1 = \frac{82 — 80}{2 \cdot 9} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}, \quad x^2_2 = \frac{82 + 80}{2 \cdot 9} = 9;
\]

\[
x_1 = \pm \frac{1}{\sqrt{9}} = \pm \frac{1}{3}, \quad x_2 = \pm \sqrt{9} = \pm 3;
\]

\[
x + \frac{1}{x} = 0, \, x^2 + 1 = 0, \, x \notin \mathbb{R};
\]

Ответ: \(-3; -\frac{1}{3}; \frac{1}{3}\).

б)
\[
x^3 — \frac{1}{x^3} = 5 \cdot \frac{1}{4} \left(x — \frac{1}{x}\right);
\]

\[
\left(x — \frac{1}{x}\right) \left(x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}\right) = \frac{21}{4} \left(x — \frac{1}{x}\right);
\]

\[
4x^2 + 4 + \frac{4}{x^2} = 21;
\]

\[
4x^4 — 17x^2 + 4 = 0;
\]

\[
D = 17^2 — 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 — 64 = 225, \, \text{тогда:}
\]

\[
x^2_1 = \frac{17 — 15}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}, \quad x^2_2 = \frac{17 + 15}{2 \cdot 4} = 4;
\]

\[
x_1 = \pm \frac{1}{\sqrt{4}} = \pm \frac{1}{2}, \quad x_2 = \pm \sqrt{4} = \pm 2;
\]

\[
x — \frac{1}{x} = 0, \, x^2 — 1 = 0, \, x = \pm 1;
\]

Ответ: \(-2; -\frac{1}{2}; -1; \frac{1}{2}\).

в)
\[
x^3 — \frac{1}{x^3} = 7 \cdot \left(x — \frac{1}{x}\right);
\]

\[
\left(x — \frac{1}{x}\right) \left(x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}\right) = 7 \left(x — \frac{1}{x}\right);
\]

\[
x^2 + 1 + \frac{1}{x^2} = 7;
\]

\[
x^4 — 6x^2 + 1 = 0;
\]

\[
D = 6^2 — 4 \cdot 1 = 36 — 4 = 32, \, \text{тогда:}
\]

\[
x^2 = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2};
\]

\[
x^2 = 2 \pm 2\sqrt{2} + 1 = (\sqrt{2} \pm 1)^2;
\]

\[
x = \sqrt{2} \pm 1, \, x = -\sqrt{2} \pm 1;
\]

\[
x — \frac{1}{x} = 0, \, x^2 — 1 = 0, \, x = \pm 1;
\]

Ответ: \(-1; \sqrt{2} — 1; -\sqrt{2} — 1; 1 — \sqrt{2}\).

а) Уравнение:
\(x^3 + \frac{1}{x^3} = 8 \cdot \frac{1}{9} \left(x + \frac{1}{x}\right)\)

Приводим все слагаемые к общему знаменателю:

\(\left(x + \frac{1}{x}\right) \left(x^2 — 1 + \frac{1}{x^2}\right) = \frac{73}{9} \left(x + \frac{1}{x}\right)\)

Умножаем обе стороны на \(x + \frac{1}{x}\):

\(9x^2 — 9 + \frac{9}{x^2} = 73\)

Упрощаем уравнение:

\(9x^4 — 82x^2 + 9 = 0\)

Находим дискриминант:

\(D = 82^2 — 4 \cdot 9 \cdot 9 = 6724 — 324 = 6400\)

Находим корни уравнения:

\(x^2_1 = \frac{82 — 80}{2 \cdot 9} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}, \quad x^2_2 = \frac{82 + 80}{2 \cdot 9} = 9\)

Решаем уравнения:

\(x_1 = \pm \frac{1}{3}, \quad x_2 = \pm 3\)

Убираем комплексные корни и оставляем действительные:

Ответ: \(x = -3; -\frac{1}{3}; \frac{1}{3}\)

Ответ: \(-3; -\frac{1}{3}; \frac{1}{3}\).

б) Уравнение:
\(x^3 — \frac{1}{x^3} = 5 \cdot \frac{1}{4} \left(x — \frac{1}{x}\right)\)

Приводим все слагаемые к общему знаменателю:

\(\left(x — \frac{1}{x}\right) \left(x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}\right) = \frac{21}{4} \left(x — \frac{1}{x}\right)\)

Умножаем обе стороны на \(x — \frac{1}{x}\):

\(4x^2 + 4 + \frac{4}{x^2} = 21\)

Упрощаем уравнение:

\(4x^4 — 17x^2 + 4 = 0\)

Находим дискриминант:

\(D = 17^2 — 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 — 64 = 225\)

Находим корни уравнения:

\(x^2_1 = \frac{17 — 15}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}, \quad x^2_2 = \frac{17 + 15}{2 \cdot 4} = 4\)

Решаем уравнения:

\(x_1 = \pm \frac{1}{2}, \quad x_2 = \pm 2\)

Убираем комплексные корни и оставляем действительные:

Ответ: \(-2; -\frac{1}{2}; -1; \frac{1}{2}\)

Ответ: \(-2; -\frac{1}{2}; -1; \frac{1}{2}\).

в) Уравнение:
\(x^3 — \frac{1}{x^3} = 7 \cdot \left(x — \frac{1}{x}\right)\)

Приводим все слагаемые к общему знаменателю:

\(\left(x — \frac{1}{x}\right) \left(x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}\right) = 7 \left(x — \frac{1}{x}\right)\)

Умножаем обе стороны на \(x — \frac{1}{x}\):

\(x^2 + 1 + \frac{1}{x^2} = 7\)

Упрощаем:

\(x^4 — 6x^2 + 1 = 0\)

Находим дискриминант:

\(D = 6^2 — 4 \cdot 1 = 36 — 4 = 32\)

Находим корни уравнения:

\(x^2 = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}\)

Решаем уравнения:

\(x = \sqrt{2} \pm 1, \quad x = -\sqrt{2} \pm 1\)

Убираем комплексные корни и оставляем действительные:

Ответ: \(-1; \sqrt{2} — 1; -\sqrt{2} — 1; 1 — \sqrt{2}\)

Ответ: \(-1; \sqrt{2} — 1; -\sqrt{2} — 1; 1 — \sqrt{2}\).