ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 259 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) 1/(x^2+1)-1/(x^2+8)=7/8; в) 1/(x(x+3))-1/(x^2+3x+2)=1/60;

б) 1/(p^4+5)-1/(p^4+7)=1/24; г) 1/(x(x-2))-1/(x-1)^2=1/12.

Решить уравнение:

a)
\[
\frac{1}{x^2 + 1} — \frac{1}{x^2 + 8} = \frac{7}{8};
\]

\[
8(x^2 + 8) — 8(x^2 + 1) = 7(x^2 + 1)(x^2 + 8);
\]

\[
8x^2 + 64 — 8x^2 — 8 = 7x^4 + 63x^2 + 56;
\]

\[
7x^4 + 63x^2 = 0;
\]

\[
7x^2(x^2 + 9) = 0;
\]

\[
x^2 = 0, \, x = 0;
\]

Ответ: \(0\).

б)
\[
\frac{1}{p^4 + 5} — \frac{1}{p^4 + 7} = \frac{1}{24};
\]

\[
24(p^4 + 7) — 24(p^4 + 5) = (p^4 + 5)(p^4 + 7);
\]

\[
24p^4 + 168 — 24p^4 — 120 = p^8 + 12p^4 + 35;
\]

\[
p^8 + 12p^4 — 13 = 0;
\]

\[
D = 12^2 + 4 \cdot 13 = 144 + 52 = 196, \, \text{тогда:}
\]

\[
p_1 = \frac{-12 — 14}{2} = -13, \quad p_2 = \frac{-12 + 14}{2} = 1;
\]

\[
p_1 \notin \mathbb{R}, \, p_2 = \pm 1;
\]

Ответ: \(-1; 1\).

в)
\[
\frac{1}{x(x + 3)} — \frac{1}{x^2 + 3x + 2} = \frac{1}{60};
\]

Пусть \(y = x^2 + 3x\), тогда:

\[
\frac{1}{y} — \frac{1}{y + 2} = \frac{1}{60};
\]

\[
60(y + 2) — 60y = y(y + 2);
\]

\[
60y + 120 — 60y = y^2 + 2y;
\]

\[
y^2 + 2y — 120 = 0;
\]

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 120 = 4 + 480 = 484, \, \text{тогда:}
\]

\[
y_1 = \frac{-2 — 22}{2} = -12, \quad y_2 = \frac{-2 + 22}{2} = 10;
\]

Первое уравнение:

\[
x^2 + 3x = -12;
\]

\[
x^2 + 3x + 12 = 0;
\]

\[
D = 3^2 — 4 \cdot 12 = -39, \, D < 0, \, \text{значит корней нет}.
\]

Второе уравнение:
\[
x^2 + 3x = 10;
\]

\[
x^2 + 3x — 10 = 0;
\]

\[
D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49, \, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-3 — 7}{2} = -5, \quad x_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2;
\]

Ответ: \(-5; 2\).

г)
\[
\frac{1}{x(x — 2)} — \frac{1}{(x — 1)^2} = \frac{1}{12};
\]

Пусть \(y = x^2 — 2x\), тогда:

\[
\frac{1}{y} — \frac{1}{y + 1} = \frac{1}{12};
\]

\[
12(y + 1) — 12y = y(y + 1);
\]

\[
12y + 12 — 12y = y^2 + y;
\]

\[
y^2 + y — 12 = 0;
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49, \, \text{тогда:}
\]

\[
y_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4, \quad y_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3;
\]

Первое уравнение:

\[
x^2 — 2x = -4;
\]

\[
x^2 — 2x + 4 = 0;
\]

\[
D = 2^2 — 4 \cdot 4 = -12, \, D < 0, \, \text{значит корней нет}.
\]

Второе уравнение:
\[
x^2 — 2x = 3;
\]

\[
x^2 — 2x — 3 = 0;
\]

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\]

Ответ: \(-1; 3\).

а) Уравнение:
\(\frac{1}{x^2 + 1} — \frac{1}{x^2 + 8} = \frac{7}{8}\)

Приводим обе стороны к общему знаменателю:

\(8(x^2 + 8) — 8(x^2 + 1) = 7(x^2 + 1)(x^2 + 8)\)

Раскрываем скобки:

\(8x^2 + 64 — 8x^2 — 8 = 7x^4 + 63x^2 + 56\)

Упрощаем уравнение:

\(7x^4 + 63x^2 = 0\)

Вынесем общий множитель:

\(7x^2(x^2 + 9) = 0\)

Находим корни:

\(x^2 = 0 \Rightarrow x = 0\)

Ответ: \(x = 0\).

б) Уравнение:
\(\frac{1}{p^4 + 5} — \frac{1}{p^4 + 7} = \frac{1}{24}\)

Приводим обе стороны к общему знаменателю:

\(24(p^4 + 7) — 24(p^4 + 5) = (p^4 + 5)(p^4 + 7)\)

Раскрываем скобки:

\(24p^4 + 168 — 24p^4 — 120 = p^8 + 12p^4 + 35\)

Упрощаем:

\(p^8 + 12p^4 — 13 = 0\)

Находим дискриминант:

\(D = 12^2 + 4 \cdot 13 = 144 + 52 = 196\)

Находим корни уравнения:

\(p_1 = \frac{-12 — 14}{2} = -13, \quad p_2 = \frac{-12 + 14}{2} = 1\)

Так как \(p_1 \notin \mathbb{R}\), оставляем только \(p_2\):

\(p_2 = \pm 1\)

Ответ: \(p = -1; 1\).

в) Уравнение:
\(\frac{1}{x(x + 3)} — \frac{1}{x^2 + 3x + 2} = \frac{1}{60}\)

Пусть \(y = x^2 + 3x\), тогда уравнение превращается в:

\(\frac{1}{y} — \frac{1}{y + 2} = \frac{1}{60}\)

Приводим к общему знаменателю:

\(60(y + 2) — 60y = y(y + 2)\)

Раскрываем скобки:

\(60y + 120 — 60y = y^2 + 2y\)

Упрощаем:

\(y^2 + 2y — 120 = 0\)

Находим дискриминант:

\(D = 2^2 + 4 \cdot 120 = 4 + 480 = 484\)

Находим корни уравнения:

\(y_1 = \frac{-2 — 22}{2} = -12, \quad y_2 = \frac{-2 + 22}{2} = 10\)

Решаем первое уравнение \(x^2 + 3x = -12\):

\(x^2 + 3x + 12 = 0\)

Находим дискриминант: \(D = 3^2 — 4 \cdot 12 = -39\)

Так как \(D < 0\), корней нет.

Решаем второе уравнение \(x^2 + 3x = 10\):

\(x^2 + 3x — 10 = 0\)

Находим дискриминант:

\(D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49\)

Находим корни уравнения:

\(x_1 = \frac{-3 — 7}{2} = -5, \quad x_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2\)

Ответ: \(x = -5; 2\).

г) Уравнение:
\(\frac{1}{x(x — 2)} — \frac{1}{(x — 1)^2} = \frac{1}{12}\)

Пусть \(y = x^2 — 2x\), тогда уравнение превращается в:

\(\frac{1}{y} — \frac{1}{y + 1} = \frac{1}{12}\)

Приводим к общему знаменателю:

\(12(y + 1) — 12y = y(y + 1)\)

Раскрываем скобки:

\(12y + 12 — 12y = y^2 + y\)

Упрощаем:

\(y^2 + y — 12 = 0\)

Находим дискриминант:

\(D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49\)

Находим корни уравнения:

\(y_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4, \quad y_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3\)

Решаем первое уравнение \(x^2 — 2x = -4\):

\(x^2 — 2x + 4 = 0\)

Находим дискриминант: \(D = 2^2 — 4 \cdot 4 = -12\)

Так как \(D < 0\), корней нет.

Решаем второе уравнение \(x^2 — 2x = 3\):

\(x^2 — 2x — 3 = 0\)

Находим дискриминант:

\(D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16\)

Находим корни уравнения:

\(x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3\)

Ответ: \(x = -1; 3\).