ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 257 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение: а) y^4-31/(2y^4-1)=15; б) 12/(y^2-2y+3)-y^2+2y=-1.

Решить уравнение:

a)
\[
y^4 — \frac{31}{2y^4 — 1} = 15;
\]

Пусть \(x = y^4\), тогда:

\[
x — \frac{31}{2x — 1} = 15;
\]

\[
x(2x — 1) — 31 = 15(2x — 1);
\]

\[
2x^2 — x — 31 = 30x — 15;
\]

\[
2x^2 — 31x — 16 = 0;
\]

\[
D = 31^2 + 4 \cdot 2 \cdot 16 = 961 + 128 = 1089, \, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{31 — 33}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{31 + 33}{2 \cdot 2} = 16;
\]

Первое уравнение:

\[
y^4 = -\frac{1}{2}, \, y \notin \mathbb{R};
\]

Второе уравнение:

\[
y^4 = 16, \, y = \pm 2;
\]

Ответ: \(-2; 2\).

б)
\[
\frac{12}{y^2 — 2y + 3} — y^2 + 2y = -1;
\]

Пусть \(x = y^2 — 2y\), тогда:

\[
\frac{12}{x + 3} — x = -1;
\]

\[
12 — x(x + 3) = -(x + 3);
\]

\[
12 — x^2 — 3x = -x — 3;
\]

\[
x^2 + 2x — 15 = 0;
\]

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64, \, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-2 — 8}{2} = -5, \quad x_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3;
\]

Первое уравнение:
\[
y^2 — 2y = -5;
\]

\[
y^2 — 2y + 5 = 0;
\]

\[
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = -16;
\]

\(D < 0\), значит корней нет.

Второе уравнение:
\[
y^2 — 2y = 3;
\]

\[
y^2 — 2y — 3 = 0;
\]

\[
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16, \, \text{тогда:}
\]

\[
y_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad y_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\]

Ответ: \(-1; 3\).

а) Уравнение:
\(\frac{3b^2 + 1}{2b} + \frac{8b}{3b^2 + 1} = 4\)

Пусть \(x = y^4\), тогда уравнение преобразуется в:

\(x — \frac{31}{2x — 1} = 15\)

Перемножаем обе стороны на \(2x — 1\) для устранения дробей:

\(x(2x — 1) — 31 = 15(2x — 1)\)

Раскрываем скобки:

\(x(2x) — x — 31 = 15(2x) — 15\)

Упрощаем:

\(2x^2 — x — 31 = 30x — 15\)

Переносим все слагаемые на одну сторону уравнения:

\(2x^2 — 31x — 16 = 0\)

Теперь решаем квадратное уравнение:

\(D = 31^2 — 4 \cdot 2 \cdot 16 = 961 — 128 = 1089\)

Мы получаем положительный дискриминант, следовательно, у уравнения есть два корня.

Находим корни уравнения:

\(x_1 = \frac{31 — 33}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}, \, x_2 = \frac{31 + 33}{2 \cdot 2} = \frac{64}{4} = 16\)

Решаем первое уравнение \(y^4 = -\frac{1}{2}\):

\(y \notin \mathbb{R}\), так как \(y^4\) всегда неотрицательно, значит корней нет.

Решаем второе уравнение \(y^4 = 16\):

\(y = \pm 2\)

Ответ: \(y = -2; 2\).

б) Уравнение:
\(\frac{12}{y^2 — 2y + 3} — y^2 + 2y = -1\)

Пусть \(x = y^2 — 2y\), тогда уравнение превращается в:

\(\frac{12}{x + 3} — x = -1\)

Переносим \(x\) на правую сторону:

\(12 — x(x + 3) = -(x + 3)\)

Раскрываем скобки:

\(12 — x^2 — 3x = -x — 3\)

Переносим все слагаемые на одну сторону:

\(x^2 + 2x — 15 = 0\)

Решаем квадратное уравнение:

\(D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64\)

Мы получаем положительный дискриминант, следовательно, у уравнения есть два корня.

Находим корни уравнения:

\(x_1 = \frac{-2 — 8}{2} = -5, \, x_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3\)

Решаем первое уравнение \(y^2 — 2y = -5\):

\(y^2 — 2y + 5 = 0\)

Находим дискриминант: \(D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = -16\)

Так как \(D < 0\), корней нет.

Решаем второе уравнение \(y^2 — 2y = 3\):

\(y^2 — 2y — 3 = 0\)

Находим дискриминант:

\(D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\)

Находим корни уравнения:

\(y_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \, y_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3\)

Ответ: \(y = -1; 3\).