ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 256 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях b сумма дробей:

а) (3b^2+1)/(2b) и 8b/(3b^2+1) равна 4;

б) (2b^2+2)/b и 5b/(b^2+1) равна 7?

Решить уравнение:

a)
\[
\frac{3b^2 + 1}{2b} + \frac{8b}{3b^2 + 1} = 4;
\]

Пусть \(y = \frac{3b^2 + 1}{2b}\), тогда:

\[
y + \frac{4}{y} — 4 = 0;
\]

\[
y^2 — 4y + 4 = 0;
\]

\[
(y — 2)^2 = 0;
\]

\[
y — 2 = 0, \, y = 2;
\]

Вернём замену:

\[
\frac{3b^2 + 1}{2b} = 2;
\]

\[
3b^2 + 1 = 4b;
\]

\[
3b^2 — 4b + 1 = 0;
\]

\[
D = 4^2 — 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 — 12 = 4, \, \text{тогда:}
\]

\[
b_1 = \frac{4 — 2}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3}, \, b_2 = \frac{4 + 2}{2 \cdot 3} = 1;
\]

Ответ: \(\frac{1}{3}; 1\).

б)
\[
\frac{2b^2 + 2}{b} + \frac{5b}{b^2 + 1} = 7;
\]

Пусть \(y = \frac{b^2 + 1}{b}\), тогда:

\[
2y + \frac{5}{y} — 7 = 0;
\]

\[
2y^2 — 7y + 5 = 0;
\]

\[
D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 — 40 = 9, \, \text{тогда:}
\]

\[
y_1 = \frac{7 — 3}{2 \cdot 2} = 1, \, y_2 = \frac{7 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{5}{2};
\]

Первое уравнение:
\[
\frac{b^2 + 1}{b} = 1;
\]

\[
b^2 + 1 = b;
\]

\[
b^2 — b + 1 = 0;
\]

\[
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3;
\]

\(D < 0\), значит корней нет.

Второе уравнение:
\[
\frac{b^2 + 1}{b} = \frac{5}{2};
\]

\[
2b^2 + 2 = 5b;
\]

\[
2b^2 — 5b + 2 = 0;
\]

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9, \, \text{тогда:}
\]

\[
b_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}, \, b_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = 2;
\]

Ответ: \(\frac{1}{2}; 2\).

а) Уравнение:
\(\frac{3b^2 + 1}{2b} + \frac{8b}{3b^2 + 1} = 4\)

Пусть \(y = \frac{3b^2 + 1}{2b}\), тогда уравнение превращается в:

\(y + \frac{4}{y} — 4 = 0\)

Перемещаем 4 на правую сторону:

\(y + \frac{4}{y} = 4\)

Умножаем обе части на \(y\):

\(y^2 — 4y + 4 = 0\)

Это квадратное уравнение:

\((y — 2)^2 = 0\)

Находим корень:

\(y = 2\)

Возвращаем замену:

\(\frac{3b^2 + 1}{2b} = 2\)

Умножаем обе стороны на \(2b\):

\(3b^2 + 1 = 4b\)

Переносим все на одну сторону:

\(3b^2 — 4b + 1 = 0\)

Находим дискриминант:

\(D = 4^2 — 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 — 12 = 4\)

Находим корни уравнения:

\(b_1 = \frac{4 — 2}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3}, \, b_2 = \frac{4 + 2}{2 \cdot 3} = 1\)

Ответ: \(b = \frac{1}{3}; 1\).

б) Уравнение:
\(\frac{2b^2 + 2}{b} + \frac{5b}{b^2 + 1} = 7\)

Пусть \(y = \frac{b^2 + 1}{b}\), тогда уравнение превращается в:

\(2y + \frac{5}{y} — 7 = 0\)

Переносим 7 на правую сторону:

\(2y + \frac{5}{y} = 7\)

Умножаем обе части на \(y\):

\(2y^2 — 7y + 5 = 0\)

Находим дискриминант:

\(D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 — 40 = 9\)

Находим корни уравнения:

\(y_1 = \frac{7 — 3}{2 \cdot 2} = 1, \, y_2 = \frac{7 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{5}{2}\)

Решаем первое уравнение \(\frac{b^2 + 1}{b} = 1\):

\(b^2 + 1 = b\)

\(b^2 — b + 1 = 0\)

Находим дискриминант: \(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3\)

Так как \(D < 0\), корней нет.

Решаем второе уравнение \(\frac{b^2 + 1}{b} = \frac{5}{2}\):

\(2b^2 + 2 = 5b\)

\(2b^2 — 5b + 2 = 0\)

Находим дискриминант:

\(D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9\)

Находим корни уравнения:

\(b_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}, \, b_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = 2\)

Ответ: \(b = \frac{1}{2}; 2\).