ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 255 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения:

а) ((x+2)/x)^2=4 1/4-(x/(x+2))^2;

б) ((p+6)/(2p))^2+(2p/(p+6))^2-2=0.

a)
\[
\left(\frac{x + 2}{x}\right)^2 = \frac{1}{4} — \left(\frac{x}{x + 2}\right)^2;
\]

Пусть \(y = \left(\frac{x + 2}{x}\right)^2\), тогда:

\[
y = \frac{1}{4} — \frac{1}{y};
\]

\[
4y^2 — 17y + 4 = 0;
\]

\[
D = 17^2 — 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 — 64 = 225, \, \text{тогда:}
\]

\[
y_1 = \frac{17 — 15}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}, \, y_2 = \frac{17 + 15}{2 \cdot 4} = 4;
\]

Первое уравнение:
\[
\left(\frac{x + 2}{x}\right)^2 = \frac{1}{4};
\]

\[
\frac{x + 2}{x} = \pm \frac{1}{2};
\]

\[
x + 2 = \frac{1}{2}x, \quad x + 2 = -\frac{1}{2}x;
\]

\[
2x + 4 = -x, \quad 2x + 4 = x;
\]

\[
3x = -4, \, x + 4 = 0;
\]

\[
x = -\frac{4}{3}, \, x = -4;
\]

Второе уравнение:

\[
\left(\frac{x + 2}{x}\right)^2 = 4;
\]

\[
\frac{x + 2}{x} = \pm 2;
\]

\[
x + 2 = -2x, \quad x + 2 = 2x;
\]

\[
3x = -2, \, x — 2 = 0;
\]

\[
x = -\frac{2}{3}, \, x = 2;
\]

Ответ: \(-4; -\frac{4}{3}; -\frac{2}{3}; 2\).

б)
\[
\left(\frac{p + 6}{2p}\right)^2 + \left(\frac{2p}{p + 6}\right)^2 — 2 = 0;
\]

Пусть \(y = \left(\frac{p + 6}{2p}\right)^2\), тогда:

\[
y + \frac{1}{y} — 2 = 0;
\]

\[
y^2 — 2y + 1 = 0;
\]

\[
(y — 1)^2 = 0;
\]

\[
y — 1 = 0, \, y = 1;
\]

Вернём замену:

\[
\left(\frac{p + 6}{2p}\right)^2 = 1;
\]

\[
\frac{p + 6}{2p} = \pm 1;
\]

\[
p + 6 = -2p, \quad p + 6 = 2p;
\]

\[
3p = -6, \, p — 6 = 0;
\]

\[
p = -2, \, p = 6;
\]

Ответ: \(-2; 6\).

а) Уравнение:
\(\left(\frac{x + 2}{x}\right)^2 = \frac{1}{4} — \left(\frac{x}{x + 2}\right)^2\)

Пусть \(y = \left(\frac{x + 2}{x}\right)^2\), тогда уравнение превращается в:

\(y = \frac{1}{4} — \frac{1}{y}\)

Перемножаем обе стороны на \(y\):

\(y^2 = \frac{y}{4} — 1\)

Переносим все на одну сторону:

\(4y^2 — 17y + 4 = 0\)

Находим дискриминант:

\(D = 17^2 — 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 — 64 = 225\)

Находим корни уравнения:

\(y_1 = \frac{17 — 15}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}, \, y_2 = \frac{17 + 15}{2 \cdot 4} = 4\)

Решаем первое уравнение \(\left(\frac{x + 2}{x}\right)^2 = \frac{1}{4}\):

\(\frac{x + 2}{x} = \pm \frac{1}{2}\)

Получаем два случая:

\(x + 2 = \frac{1}{2}x, \quad x + 2 = -\frac{1}{2}x\)

Для первого случая \(x + 2 = \frac{1}{2}x\):

\(2x + 4 = -x\)

\(3x = -4, \, x = -\frac{4}{3}\)

Для второго случая \(x + 2 = -\frac{1}{2}x\):

\(2x + 4 = x\)

\(x = -4\)

Решаем второе уравнение \(\left(\frac{x + 2}{x}\right)^2 = 4\):

\(\frac{x + 2}{x} = \pm 2\)

Получаем два случая:

\(x + 2 = -2x, \quad x + 2 = 2x\)

Для первого случая \(x + 2 = -2x\):

\(3x = -2, \, x = -\frac{2}{3}\)

Для второго случая \(x + 2 = 2x\):

\(x = 2\)

Ответ: \(x = -4; -\frac{4}{3}; -\frac{2}{3}; 2\).

б) Уравнение:
\(\left(\frac{p + 6}{2p}\right)^2 + \left(\frac{2p}{p + 6}\right)^2 — 2 = 0\)

Пусть \(y = \left(\frac{p + 6}{2p}\right)^2\), тогда уравнение превращается в:

\(y + \frac{1}{y} — 2 = 0\)

Переносим 2 на правую сторону:

\(y + \frac{1}{y} = 2\)

Умножаем обе части на \(y\):

\(y^2 — 2y + 1 = 0\)

Это квадратное уравнение:

\((y — 1)^2 = 0\)

Находим корень:

\(y = 1\)

Возвращаем замену:

\(\left(\frac{p + 6}{2p}\right)^2 = 1\)

Применяем квадратный корень:

\(\frac{p + 6}{2p} = \pm 1\)

Для первого случая \(p + 6 = -2p\):

\(3p = -6, \, p = -2\)

Для второго случая \(p + 6 = 2p\):

\(p = 6\)

Ответ: \(p = -2; 6\).