ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 254 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение, используя введение новой переменной:

а) 1/(x^2+x+2)+1/(x^2+x)=6/(x^2+x+6);

б) 1/(x^2-2x+2)+2/(x^2-2x+3)=6/(x^2-2x+4).

Решить уравнение:

a)
\[
\frac{1}{x^2 + x + 2} + \frac{1}{x^2 + x} = \frac{6}{x^2 + x + 6};
\]

Пусть \(y = x^2 + x\), тогда:

\[
\frac{1}{y + 2} + \frac{1}{y} = \frac{6}{y + 6};
\]

\[
y(y + 6) + (y + 2)(y + 6) = 6y(y + 2);
\]

\[
y^2 + 6y + y^2 + 8y + 12 = 6y^2 + 12y;
\]

\[
4y^2 — 2y — 12 = 0;
\]

\[
2y^2 — y — 6 = 0;
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 6 = 1 + 48 = 49, \, \text{тогда:}
\]

\[
y_1 = \frac{-1 — 7}{2 \cdot 2} = -2, \, y_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 2} = 2;
\]

Первое уравнение:
\[
x^2 + x = -2;
\]

\[
2x^2 + 2x + 3 = 0;
\]

\[
D = 2^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = -20;
\]

Второе уравнение:
\[
x^2 + x = 2;
\]

\[
x^2 + x — 2 = 0;
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 9, \, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \, x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;
\]

Ответ: \(-2; 1\).

б)
\[
\frac{1}{x^2 — 2x + 2} + \frac{2}{x^2 — 2x + 3} = \frac{6}{x^2 — 2x + 4};
\]

Пусть \(y = x^2 — 2x\), тогда:

\[
\frac{1}{y + 2} + \frac{2}{y + 3} = \frac{6}{y + 4};
\]

\[
(y + 3)(y + 4) + 2(y + 2)(y + 4) = 6(y + 2)(y + 3);
\]

\[
y^2 + 7y + 12 + 2y^2 + 12y + 16 = 6y^2 + 30y + 36;
\]

\[
3y^2 + 11y + 8 = 0;
\]

\[
D = 11^2 — 4 \cdot 3 \cdot 8 = 121 — 96 = 25, \, \text{тогда:}
\]

\[
y_1 = \frac{-11 — 5}{2 \cdot 3} = -\frac{8}{3}, \, y_2 = \frac{-11 + 5}{2 \cdot 3} = -1;
\]

Первое уравнение:
\[
x^2 — 2x = -\frac{8}{3};
\]

\[
3x^2 — 6x + 8 = 0;
\]

\[
D = 6^2 — 4 \cdot 3 \cdot 8 = -60;
\]

Второе уравнение:
\[
x^2 — 2x = -1;
\]

\[
(x — 1)^2 = 0, \, x = 1;
\]

Ответ: \(1\).

а) Уравнение:
\(\frac{1}{x^2 + x + 2} + \frac{1}{x^2 + x} = \frac{6}{x^2 + x + 6}\)

Пусть \(y = x^2 + x\), тогда уравнение превращается в:

\(\frac{1}{y + 2} + \frac{1}{y} = \frac{6}{y + 6}\)

Приводим к общему знаменателю:

\(y(y + 6) + (y + 2)(y + 6) = 6y(y + 2)\)

Раскрываем скобки:

\(y^2 + 6y + y^2 + 8y + 12 = 6y^2 + 12y\)

Упрощаем уравнение:

\(4y^2 — 2y — 12 = 0\)

Делим на 2:

\(2y^2 — y — 6 = 0\)

Находим дискриминант:

\(D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49\)

Находим корни уравнения:

\(y_1 = \frac{-1 — 7}{2 \cdot 2} = -2, \, y_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 2} = 2\)

Решаем первое уравнение \(x^2 + x = -2\):

\(x^2 + x + 2 = 0\)

Находим дискриминант: \(D = 2^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = -20\)

Решаем второе уравнение \(x^2 + x = 2\):

\(x^2 + x — 2 = 0\)

Находим дискриминант: \(D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 9\)

Находим корни уравнения:

\(x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \, x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1\)

Ответ: \(x = -2; \, 1\).

б) Уравнение:
\(\frac{1}{x^2 — 2x + 2} + \frac{2}{x^2 — 2x + 3} = \frac{6}{x^2 — 2x + 4}\)

Пусть \(y = x^2 — 2x\), тогда уравнение превращается в:

\(\frac{1}{y + 2} + \frac{2}{y + 3} = \frac{6}{y + 4}\)

Приводим к общему знаменателю:

\((y + 3)(y + 4) + 2(y + 2)(y + 4) = 6(y + 2)(y + 3)\)

Раскрываем скобки:

\(y^2 + 7y + 12 + 2y^2 + 12y + 16 = 6y^2 + 30y + 36\)

Упрощаем уравнение:

\(3y^2 + 11y + 8 = 0\)

Находим дискриминант:

\(D = 11^2 — 4 \cdot 3 \cdot 8 = 121 — 96 = 25\)

Находим корни уравнения:

\(y_1 = \frac{-11 — 5}{2 \cdot 3} = -\frac{8}{3}, \, y_2 = \frac{-11 + 5}{2 \cdot 3} = -1\)

Решаем первое уравнение \(x^2 — 2x = -\frac{8}{3}\):

\(3x^2 — 6x + 8 = 0\)

Находим дискриминант: \(D = 6^2 — 4 \cdot 3 \cdot 8 = -60\)

Решаем второе уравнение \(x^2 — 2x = -1\):

\((x — 1)^2 = 0, \, x = 1\)

Ответ: \(x = 1\).