ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 253 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) x/(x+2)-(x+2)/x-(x+1)/(x-2)=0;

б) (x+1)/(x-2)-x/(x+1)+(x+1)/(x+2)=0;

в) x/(x+1)+(x-1)/x+2x/(x+3)=1;

г) (x+1)/x+(x+3)/(x+1)-3x/(x+2)=3.

Решить уравнение:

a)
\[
\frac{x}{x+2} — \frac{x+2}{x} + \frac{x+1}{x-2} = 0;
\]

\[
\frac{x^2 — x^2 — 4x — 4}{x(x+2)} + \frac{x+1}{x-2} = 0;
\]

\[
-4(x+1) + \frac{x+1}{x-2} = 0;
\]

\[
\frac{4(x-2) + x^2 + 2x}{x(x+2)} = 0;
\]

\[
4x — 8 + x^2 + 2x = 0;
\]

\[
x^2 + 6x — 8 = 0, \, x = -1;
\]

\[
D = 6^2 + 4 \cdot 8 = 36 + 32 = 68, \, \text{тогда:}
\]

\[
x = \frac{-6 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{17}}{2} = -3 \pm \sqrt{17};
\]

Ответ: \(-1; -3 \pm \sqrt{17}\).

б)
\[
\frac{x}{x+1} — \frac{x-1}{x} + \frac{2x}{x+3} = 1;
\]

\[
\frac{x(x+3) — (x-1)(x+3) + x(x+1)}{x(x+1)(x+3)} = 0;
\]

\[
\frac{x^2 — 2x — 3 + x^2 + 3x}{(x+1)(x+3)} = 0;
\]

\[
2x^2 + x — 3 = 0;
\]

\[
D = 7^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 13, \, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-7 — \sqrt{13}}{6}, \, x_2 = \frac{-7 + \sqrt{13}}{6};
\]

Ответ: \(1; \, \frac{-7 \pm \sqrt{13}}{6}\).

в)
\[
\frac{x+1}{x-2} — \frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x+2} = 0;
\]

\[
\frac{(x+1)(x+2) + (x+1)(x-2) — x}{(x-2)(x+2)(x+1)} = 0;
\]

\[
\frac{2x^2 — 2 — x^2 + 4}{x^2 — 4} = 0;
\]

\[
x = 0;
\]

Ответ: \(0\).

г)
\[
\frac{x+1}{x} + \frac{x+3}{x+1} — \frac{3x}{x+2} = 3;
\]

\[
(x+1)^2(x+2) + x(x+3)(x+2) — 3x^2(x+1) = 3x(x+1)(x+2);
\]

\[
4x^3 + 3x^2 — 5x — 2 = 0;
\]

\[
(x-1)(4x^2 + 7x + 2) = 0;
\]

\[
D = 7^2 — 4 \cdot 4 \cdot 2 = 17, \, \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-7 — \sqrt{17}}{8}, \, x_2 = \frac{-7 + \sqrt{17}}{8};
\]

Ответ: \(1; \, \frac{-7 \pm \sqrt{17}}{8}\).

а) Уравнение:
\(\frac{x}{x+2} — \frac{x+2}{x} + \frac{x+1}{x-2} = 0\)

Приводим к общему знаменателю:

\(\frac{x^2 — x^2 — 4x — 4}{x(x+2)} + \frac{x+1}{x-2} = 0\)

Упрощаем числитель:

\(\frac{-4(x+1)}{x(x+2)} + \frac{x+1}{x-2} = 0\)

Переносим второе слагаемое в правую часть:

\(-4(x+1) + \frac{x+1}{x-2} = 0\)

Приводим к общему знаменателю:

\(\frac{4(x-2) + x^2 + 2x}{x(x+2)} = 0\)

Упрощаем числитель:

\(4x — 8 + x^2 + 2x = 0\)

Получаем квадратное уравнение:

\(x^2 + 6x — 8 = 0\)

Находим дискриминант:

\(D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68\)

Находим корни уравнения:

\(x = \frac{-6 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{17}}{2} = -3 \pm \sqrt{17}\)

Ответ: \(x = -1; \, -3 \pm \sqrt{17}\).

б) Уравнение:
\(\frac{x}{x+1} — \frac{x-1}{x} + \frac{2x}{x+3} = 1\)

Приводим к общему знаменателю:

\(\frac{x(x+3) — (x-1)(x+3) + x(x+1)}{x(x+1)(x+3)} = 0\)

Упрощаем числитель:

\(\frac{x^2 — 2x — 3 + x^2 + 3x}{(x+1)(x+3)} = 0\)

Упрощаем:

\(2x^2 + x — 3 = 0\)

Находим дискриминант:

\(D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 13\)

Находим корни уравнения:

\(x_1 = \frac{-1 — \sqrt{13}}{4}, \, x_2 = \frac{-1 + \sqrt{13}}{4}\)

Ответ: \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{4}\).

в) Уравнение:
\(\frac{x+1}{x-2} — \frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x+2} = 0\)

Приводим к общему знаменателю:

\(\frac{(x+1)(x+2) + (x+1)(x-2) — x}{(x-2)(x+2)(x+1)} = 0\)

Упрощаем:

\(\frac{2x^2 — 2 — x^2 + 4}{x^2 — 4} = 0\)

Получаем уравнение:

\(x = 0\)

Ответ: \(x = 0\).

г) Уравнение:
\(\frac{x+1}{x} + \frac{x+3}{x+1} — \frac{3x}{x+2} = 3\)

Приводим все слагаемые к общему знаменателю:

\((x+1)^2(x+2) + x(x+3)(x+2) — 3x^2(x+1) = 3x(x+1)(x+2)\)

Упрощаем:

\(4x^3 + 3x^2 — 5x — 2 = 0\)

Разделяем на множители:

\((x-1)(4x^2 + 7x + 2) = 0\)

Находим дискриминант:

\(D = 7^2 — 4 \cdot 4 \cdot 2 = 49 — 32 = 17\)

Находим корни уравнения:

\(x_1 = \frac{-7 — \sqrt{17}}{8}, \, x_2 = \frac{-7 + \sqrt{17}}{8}\)

Ответ: \(x = 1; \, \frac{-7 \pm \sqrt{17}}{8}\).