ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 253 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) x/(x+2)-(x+2)/x-(x+1)/(x-2)=0;

б) (x+1)/(x-2)-x/(x+1)+(x+1)/(x+2)=0;

в) x/(x+1)+(x-1)/x+2x/(x+3)=1;

г) (x+1)/x+(x+3)/(x+1)-3x/(x+2)=3.

Решить уравнение:

а)

$$\frac{x}{x+2}-\frac{x+2}{x}-\frac{x+1}{x-2}=0;$$

$$\frac{x}{x+2} — \frac{x+2}{x} — \frac{x+1}{x-2} = 0;$$ $$\frac{x^2-x^2-4x-4}{x(x+2)}-\frac{x+1}{x-2}=0;$$

$$\frac{x^2 — x^2 — 4x — 4}{x(x+2)} — \frac{x+1}{x-2} = 0;$$ $$\frac{-4(x+1)}{x^2+2x}-\frac{x+1}{x-2}=0;$$

$$\frac{-4(x+1)}{x^2 + 2x} — \frac{x+1}{x-2} = 0;$$ $$-4(x-2)+x^2+2x=0;$$

$$-4(x — 2) + x^2 + 2x = 0;$$ $$4x-8+x^2+2x=0;$$

$$4x — 8 + x^2 + 2x = 0;$$ $$x^2+6x-8=0,x=-1;$$

$$x^2 + 6x — 8 = 0, \quad x = -1;$$ $$D=6^2+4\cdot 8=36+32=68;$$

$$D = 6^2 + 4 \cdot 8 = 36 + 32 = 68;$$ $$x = \frac{-6 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{17}}{2} = -3 \pm \sqrt{17};$$

Ответ: $\boxed{-1;\ -3 \pm \sqrt{17}}$

б)

$$\frac{x}{x+1}-\frac{x-1}{x}+\frac{2x}{x+3}=1;$$

$$\frac{x}{x+1} — \frac{x-1}{x} + \frac{2x}{x+3} = 1;$$ $$\frac{x-1}{x}+\frac{2x-x-3}{x+3}+\frac{x}{x+1}=0;$$

$$\frac{x-1}{x} + \frac{2x — x — 3}{x+3} + \frac{x}{x+1} = 0;$$ $$\frac{x-1}{x}+\frac{(x-3)(x+1)+x(x+3)}{(x+1)(x+3)}=0;$$

$$\frac{x-1}{x} + \frac{(x-3)(x+1) + x(x+3)}{(x+1)(x+3)} = 0;$$ $$\frac{x-1}{x}+\frac{x^2-2x-3+x^2+3x}{(x+1)(x+3)}=0;$$

$$\frac{x-1}{x} + \frac{x^2 — 2x — 3 + x^2 + 3x}{(x+1)(x+3)} = 0;$$ $$\frac{x-1}{x}+\frac{2x^2+x-3}{(x+1)(x+3)}=0;$$

$$\frac{x-1}{x} + \frac{2x^2 + x — 3}{(x+1)(x+3)} = 0;$$ $$\frac{x-1}{x}+\frac{(2x+3)(x-1)}{(x+1)(x+3)}=0;$$

$$\frac{x-1}{x} + \frac{(2x+3)(x-1)}{(x+1)(x+3)} = 0;$$ $$(x+1)(x+3)+x(2x+3)=0;$$

$$(x+1)(x+3) + x(2x+3) = 0;$$ $$x^2+4x+3+2x^2+3x=0;$$

$$x^2 + 4x + 3 + 2x^2 + 3x = 0;$$ $$3x^2+7x+3=0,x=1;$$

$$3x^2 + 7x + 3 = 0, \quad x = 1;$$ $$D=7^2-4\cdot 3\cdot 3=49-36=13;$$

$$D = 7^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 49 — 36 = 13;$$ $$x_1 = \frac{-7 — \sqrt{13}}{6}, \quad x_2 = \frac{-7 + \sqrt{13}}{6};$$

Ответ: $\boxed{1;\ \frac{-7 \pm \sqrt{13}}{6}}$

в)

$$\frac{x+1}{x-2}-\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+2}=0;$$

$$\frac{x+1}{x-2} — \frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x+2} = 0;$$ $$\frac{(x+1)(x+2)+(x+1)(x-2)}{(x-2)(x+2)}-\frac{x}{x+1}=0;$$

$$\frac{(x+1)(x+2) + (x+1)(x-2)}{(x-2)(x+2)} — \frac{x}{x+1} = 0;$$ $$\frac{x^2+3x+2+x^2-x-2}{x^2-4}-\frac{x}{x+1}=0;$$

$$\frac{x^2 + 3x + 2 + x^2 — x — 2}{x^2 — 4} — \frac{x}{x+1} = 0;$$ $$\frac{2x^2+2x}{x^2-4}-\frac{x}{x+1}=0;$$

$$\frac{2x^2 + 2x}{x^2 — 4} — \frac{x}{x+1} = 0;$$ $$2(x+1{)}^2-(x^2-4)=0;$$

$$2(x+1)^2 — (x^2 — 4) = 0;$$ $$2x^2+4x+2-x^2+4=0;$$

$$2x^2 + 4x + 2 — x^2 + 4 = 0;$$ $$x^2+4x+6=0,x=0;$$

$$x^2 + 4x + 6 = 0, \quad x = 0;$$ $$x^2 = -2 \Rightarrow x \in \varnothing;$$

Ответ: $\boxed{0}$

г)

$$\frac{x+1}{x}+\frac{x+3}{x+1}-\frac{3x}{x+2}=3;$$

$$\frac{x+1}{x} + \frac{x+3}{x+1} — \frac{3x}{x+2} = 3;$$ $$(x+1{)}^2(x+2)+x(x+3)(x+2)-3x^2(x+1)=3x(x+1)(x+2);$$

$$(x+1)^2(x+2) + x(x+3)(x+2) — 3x^2(x+1) = 3x(x+1)(x+2);$$ $$(x^2+2x+1)(x+2)+(x^2+3x)(x+2)-3x^2(x+1)=(3x^2+3x)(x+2);$$

$$(x^2 + 2x + 1)(x+2) + (x^2 + 3x)(x+2) — 3x^2(x+1) = (3x^2 + 3x)(x+2);$$ $$x^3+4x^2+5x+2+x^3+5x^2+6x-3x^3-3x^2=3x^3+9x^2+6x;$$

$$x^3 + 4x^2 + 5x + 2 + x^3 + 5x^2 + 6x — 3x^3 — 3x^2 = 3x^3 + 9x^2 + 6x;$$ $$4x^3+3x^2-5x-2=0;$$

$$4x^3 + 3x^2 — 5x — 2 = 0;$$ $$\overline{)\begin{array}{ccccc}& 4& 3& -5& -2\\ 1& 4& 7& 2& 0\end{array}}$$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 4 & 3 & -5 & -2 \\ \hline 1 & 4 & 7 & 2 & 0 \\ \hline \end{array}$$ $$(x-1)(4x^2+7x+2)=0;$$

$$(x-1)(4x^2 + 7x + 2) = 0;$$ $$D=7^2-4\cdot 4\cdot 2=49-32=17;$$

$$D = 7^2 — 4 \cdot 4 \cdot 2 = 49 — 32 = 17;$$ $$x_1 = \frac{-7 — \sqrt{17}}{8}, \quad x_2 = \frac{-7 + \sqrt{17}}{8};$$

Ответ: $\boxed{1;\ \frac{-7 \pm \sqrt{17}}{8}}$

а)

$$\frac{x}{x+2} — \frac{x+2}{x} — \frac{x+1}{x-2} = 0$$

Шаг 1. Общий знаменатель

Пока не будем приводить к общему знаменателю — сначала упростим каждую дробь отдельно, а затем объединим их.

Шаг 2. Приведём к общему знаменателю первые две дроби

$$\frac{x}{x+2} — \frac{x+2}{x} = \frac{x^2 — (x+2)^2}{x(x+2)} = \frac{x^2 — (x^2 + 4x + 4)}{x(x+2)} = \frac{-4x — 4}{x(x+2)}$$

Шаг 3. Выносим общий множитель в числителе

$$\frac{-4(x + 1)}{x(x + 2)}$$

Шаг 4. Полное уравнение:

$$\frac{-4(x + 1)}{x(x + 2)} — \frac{x + 1}{x — 2} = 0$$

Шаг 5. Переносим вторую дробь вправо

$$\frac{-4(x + 1)}{x(x + 2)} = \frac{x + 1}{x — 2}$$

Шаг 6. Переносим всё в одну сторону и умножаем на общий знаменатель:

Домножим обе части уравнения на $x(x + 2)(x — 2)$ — допустимо при условии $x \ne 0, -2, 2$

$$-4(x + 1)(x — 2) = (x + 1)(x)(x + 2)$$

Шаг 7. Раскрываем скобки

Левая часть:

$$-4(x + 1)(x — 2) = -4(x^2 — x — 2) = -4x^2 + 4x + 8$$

Правая часть:

$$(x + 1)(x)(x + 2) = x(x^2 + 3x + 2) = x^3 + 3x^2 + 2x$$

Шаг 8. Переносим всё в одну сторону:

$$-4x^2 + 4x + 8 — x^3 — 3x^2 — 2x = 0 \Rightarrow -x^3 — 7x^2 + 2x + 8 = 0$$

Умножим на $-1$ для удобства:

$$x^3 + 7x^2 — 2x — 8 = 0$$

Шаг 9. Пробуем рациональные корни:

Возможные: $\pm1, \pm2, \pm4, \pm8$

Проверка $x = -1$:

$$(-1)^3 + 7(-1)^2 — 2(-1) — 8 = -1 + 7 + 2 — 8 = 0 \Rightarrow \text{корень}$$

Шаг 10. Делим многочлен на $x + 1$:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 7 & -2 & -8 \\ \hline -1 & 1 & 6 & -8 & 0 \\ \hline \end{array} \Rightarrow (x + 1)(x^2 + 6x — 8) = 0$$

Шаг 11. Решаем квадратное уравнение

$$x^2 + 6x — 8 = 0 \Rightarrow D = 36 + 32 = 68$$ $$x = \frac{-6 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{17}}{2} = -3 \pm \sqrt{17}$$

Ответ к а):

$$\boxed{-1;\quad -3 \pm \sqrt{17}}$$

б)

$$\frac{x}{x + 1} — \frac{x — 1}{x} + \frac{2x}{x + 3} = 1$$

Шаг 1. Переносим все в одну сторону

$$\frac{x}{x + 1} — \frac{x — 1}{x} + \frac{2x}{x + 3} — 1 = 0$$

Приведём к общему знаменателю по частям.

Шаг 2. Упрощаем:

Сначала объединим дроби:

$$\left[\frac{x}{x+1} + \frac{2x}{x+3} \right] — \frac{x — 1}{x} = 1$$

Но в решении из условия идет другой путь:

$$\frac{x-1}{x} + \frac{2x — x — 3}{x + 3} + \frac{x}{x + 1} = 0 \Rightarrow \frac{x — 1}{x} + \frac{x — 3}{x + 3} + \frac{x}{x + 1} = 0$$

Шаг 3. Объединяем вторую и третью дробь

Для этого приводим их к общему знаменателю:

$$\frac{(x — 3)(x + 1) + x(x + 3)}{(x + 1)(x + 3)}$$

Шаг 4. Раскрываем скобки

$$(x — 3)(x + 1) = x^2 — 2x — 3$$ $$x(x + 3) = x^2 + 3x$$

Сумма:

$$2x^2 + x — 3$$

Шаг 5. Полное уравнение:

$$\frac{x — 1}{x} + \frac{2x^2 + x — 3}{(x + 1)(x + 3)} = 0$$

Разложим числитель второй дроби:

$$2x^2 + x — 3 = (2x + 3)(x — 1)$$

Шаг 6. Новый вид уравнения:

$$\frac{x — 1}{x} + \frac{(2x + 3)(x — 1)}{(x + 1)(x + 3)} = 0$$

Обозначим $x — 1 = A$, тогда:

$$A \left( \frac{1}{x} + \frac{2x + 3}{(x + 1)(x + 3)} \right) = 0$$

Шаг 7. Решения

1. $x — 1 = 0 \Rightarrow x = 1$
2. Или:

$$\frac{1}{x} + \frac{2x + 3}{(x + 1)(x + 3)} = 0$$

Домножим на общий знаменатель: $x(x + 1)(x + 3)$

$$(x + 1)(x + 3) + x(2x + 3) = 0 \Rightarrow x^2 + 4x + 3 + 2x^2 + 3x = 0 \Rightarrow 3x^2 + 7x + 3 = 0$$

Шаг 8. Решим квадратное уравнение

$$D = 49 — 36 = 13 \Rightarrow x = \frac{-7 \pm \sqrt{13}}{6}$$

Ответ к б):

$$\boxed{1;\quad \frac{-7 \pm \sqrt{13}}{6}}$$

в)

$$\frac{x + 1}{x — 2} — \frac{x}{x + 1} + \frac{x + 1}{x + 2} = 0$$

Шаг 1. Приведём первые и третьи дроби к общему знаменателю:

$$\frac{(x + 1)(x + 2) + (x + 1)(x — 2)}{(x — 2)(x + 2)} = \frac{x}{x + 1}$$

Шаг 2. Вычислим числитель:

$$(x + 1)(x + 2) = x^2 + 3x + 2 \quad (x + 1)(x — 2) = x^2 — x — 2$$

Сумма:

$$x^2 + 3x + 2 + x^2 — x — 2 = 2x^2 + 2x \Rightarrow \frac{2x(x + 1)}{x^2 — 4}$$

Шаг 3. Уравнение:

$$\frac{2x(x + 1)}{x^2 — 4} — \frac{x}{x + 1} = 0$$

Шаг 4. Домножим обе части на $(x^2 — 4)(x + 1)$

$$2x(x+1{)}^2-x(x^2-4)=0\Rightarrow 2x(x^2+2x+1)-x^3+4x=0\Rightarrow 2x^3+4x^2+2x-x^3+4x=0\Rightarrow$$

$$2x(x + 1)^2 — x(x^2 — 4) = 0 \Rightarrow 2x(x^2 + 2x + 1) — x^3 + 4x = 0 \Rightarrow 2x^3 + 4x^2 + 2x — x^3 + 4x = 0 \Rightarrow x^3 + 4x^2 + 6x = 0 \Rightarrow x(x^2 + 4x + 6) = 0$$

Шаг 5. Решения:

1. $x = 0$
2. $x^2 + 4x + 6 = 0 \Rightarrow D = 16 — 24 = -8$ — нет действ. корней

Ответ к в):

$$\boxed{0}$$

г)

$$\frac{x + 1}{x} + \frac{x + 3}{x + 1} — \frac{3x}{x + 2} = 3$$

Шаг 1. Умножим обе части на общий знаменатель: $x(x + 1)(x + 2)$

Левая часть:

• $(x + 1)^2(x + 2) + x(x + 3)(x + 2) — 3x^2(x + 1)$

Правая:

• $3x(x + 1)(x + 2)$

Шаг 2. Раскрываем скобки

1. $(x + 1)^2(x + 2) = x^3 + 4x^2 + 5x + 2$
2. $x(x + 3)(x + 2) = x^3 + 5x^2 + 6x$
3. $-3x^2(x + 1) = -3x^3 — 3x^2$

Сумма:

$$x^3 + 4x^2 + 5x + 2 + x^3 + 5x^2 + 6x — 3x^3 — 3x^2 = 3x^3 + 9x^2 + 6x$$ $$\text{Слева: } -x^3 + 6x^2 + 11x + 2 = 3x^3 + 9x^2 + 6x$$

Переносим:

$$-4x^3 — 3x^2 + 5x + 2 = 0 \Rightarrow 4x^3 + 3x^2 — 5x — 2 = 0$$

Шаг 3. Пробуем $x = 1$

$$4 + 3 — 5 — 2 = 0 \Rightarrow x = 1$$

Шаг 4. Делим на $x — 1$:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 4 & 3 & -5 & -2 \\ \hline 1 & 4 & 7 & 2 & 0 \\ \hline \end{array} \Rightarrow (x — 1)(4x^2 + 7x + 2)$$

Шаг 5. Решаем квадратное уравнение

$$D = 49 — 32 = 17 \Rightarrow x = \frac{-7 \pm \sqrt{17}}{8}$$

Ответ к г):

$$\boxed{{\displaystyle 1;\frac{-7\pm \sqrt{17}}{8}}}$$