ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 252 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите наибольший корень уравнения:

а) (x^2+2)/(x+2)+(x^2+3)/x=5; в) (x^2-1)/(x+4)+(x^2+1)/(x+2)=1-1/(x+2);

б) (x^2+1)/(x-1)+x^2/(x+2)=6; г) x^2/(x+2)+(x^2+1)/(x+1)=2-2/(x+2).

Наибольший корень:

а)
\[
\frac{x^2 + 2}{x + 2} + \frac{x^2 + 3}{x} = 5;
\]

\[
x(x^2 + 2) + (x + 2)(x^2 + 3) = 5x(x + 2);
\]

\[
x^3 + 2x + x^3 + 3x + 2x^2 + 6 = 5x^2 + 10x;
\]

\[
2x^3 — 3x^2 — 5x + 6 = 0;
\]

Схема Горнера:
\[
\begin{array}{c|cccc}
2 & -3 & -5 & 6 \\
1 & 2 & -1 & -6 & 0 \\
\end{array}
\]

\[
(x — 1)(2x^2 — x — 6) = 0;
\]

\[
D = 12 + 4 \cdot 2 \cdot 6 = 1 + 48 = 49, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{1 — 7}{2 \cdot 2} = -1,5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 2} = 2;
\]

Ответ: \(2\).

б)
\[
\frac{x^2 + 1}{x — 1} + \frac{x^2}{x + 2} = 6;
\]

\[
(x^2 + 1)(x + 2) + x^2(x — 1) = 6(x — 1)(x + 2);
\]

\[
x^3 + 2x^2 + x + 2 + x^3 — x^2 = 6x^2 + 6x — 12;
\]

\[
2x^3 — 5x^2 — 5x + 14 = 0;
\]

Схема Горнера:
\[
\begin{array}{c|cccc}
2 & -5 & -5 & 14 \\
2 & -1 & -7 & 0 \\
\end{array}
\]

\[
(x — 2)(2x^2 — x — 7) = 0;
\]

\[
D = 12 + 4 \cdot 2 \cdot 7 = 57, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-1 — \sqrt{57}}{4} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{57}}{4};
\]

Ответ:

\[
\frac{1 + \sqrt{57}}{4}
\]

в)
\[
\frac{x^2 — 1}{x + 4} + \frac{x^2 + 1}{x + 2} = 1 — \frac{1}{x + 2};
\]

\[
(x^2 — 1)(x + 2) + (x^2 + 1)(x + 4) = (x + 1)(x + 4);
\]

\[
x^3 + 2x^2 — x — 2 + x^3 + 4x^2 + x + 4 = x^2 + 5x + 4;
\]

\[
2x^3 + 5x^2 — 5x — 2 = 0;
\]

Схема Горнера:
\[
\begin{array}{c|cccc}
2 & 5 & -5 & -2 \\
1 & 2 & 7 & 2 & 0 \\
\end{array}
\]

\[
(x — 1)(2x^2 + 7x + 2) = 0;
\]

\[
D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 33, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-7 — \sqrt{33}}{4} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-7 + \sqrt{33}}{4};
\]

Ответ: \(1\).

г)
\[
\frac{x^2}{x + 2} + \frac{x^2 + 1}{x + 1} = 2 — \frac{2}{x + 2};
\]

\[
x^2(x + 1) + (x^2 + 1)(x + 2) = (2x + 2)(x + 1);
\]

\[
x^3 + x^2 + x^3 + 2x^2 + x + 2 = 2x^2 + 4x + 2;
\]

\[
2x^3 + x^2 — 3x = 0;
\]

\[
x(2x^2 + x — 3) = 0;
\]

\[
D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 2} = -1,5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = 1;
\]

Ответ: \(1\).

Наибольший корень:

а)
Рассмотрим уравнение:
\[
\frac{x^2 + 2}{x + 2} + \frac{x^2 + 3}{x} = 5
\]

Для упрощения произведем приведение к общему знаменателю:
\[
\frac{x(x^2 + 2)}{x(x + 2)} + \frac{(x + 2)(x^2 + 3)}{x(x + 2)} = 5
\]

Теперь обе дроби с одинаковыми знаменателями:
\[
x(x^2 + 2) + (x + 2)(x^2 + 3) = 5x(x + 2)
\]

Раскрываем скобки:
\[
x(x^2 + 2) = x^3 + 2x, \quad (x + 2)(x^2 + 3) = x^3 + 3x + 2x^2 + 6
\]

Теперь подставим это в уравнение:
\[
x^3 + 2x + x^3 + 3x + 2x^2 + 6 = 5x^2 + 10x
\]

Приводим подобные:
\[
2x^3 + 2x^2 + 5x + 6 = 5x^2 + 10x
\]

Переносим все в левую часть:
\[
2x^3 + 2x^2 + 5x + 6 — 5x^2 — 10x = 0
\]

Упрощаем:
\[
2x^3 — 3x^2 — 5x + 6 = 0
\]

Теперь решим это уравнение с помощью схемы Горнера.

Схема Горнера:
Попробуем найти корень методом подбора. Подставим \( x = 1 \) в исходное уравнение:
\[
2(1)^3 — 3(1)^2 — 5(1) + 6 = 0
\]

Таким образом, \( x = 1 \) является корнем уравнения. Теперь можем разделить многочлен \( 2x^3 — 3x^2 — 5x + 6 \) на \( x — 1 \) с помощью схемы Горнера.

Делаем деление:
\[
\begin{array}{c|cccc}
1 & 2 & -3 & -5 & 6 \\
& & 2 & -1 & -6 \\
\hline
& 2 & -1 & -6 & 0 \\
\end{array}
\]

Таким образом, деление привело к многочлену \( 2x^2 — x — 6 \), и у нас осталось уравнение:
\[
(x — 1)(2x^2 — x — 6) = 0
\]

Теперь решим квадратное уравнение \( 2x^2 — x — 6 = 0 \) с помощью дискриминанта:
\[
D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49
\]

Находим корни:
\[
x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 — 7}{4} = -1,5
\]

\[
x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 7}{4} = 2
\]

Ответ: \( x_2 = 2 \).

б)
Рассмотрим уравнение:
\[
\frac{x^2 + 1}{x — 1} + \frac{x^2}{x + 2} = 6
\]

Для упрощения произведем приведение к общему знаменателю:
\[
\frac{(x^2 + 1)(x + 2)}{(x — 1)(x + 2)} + \frac{x^2(x — 1)}{(x — 1)(x + 2)} = \frac{6(x — 1)(x + 2)}{(x — 1)(x + 2)}
\]

Теперь обе дроби с одинаковыми знаменателями:
\[
(x^2 + 1)(x + 2) + x^2(x — 1) = 6(x — 1)(x + 2)
\]

Раскрываем скобки:
\[
(x^2 + 1)(x + 2) = x^3 + 2x^2 + x + 2, \quad x^2(x — 1) = x^3 — x^2
\]

Теперь подставим это в уравнение:
\[
x^3 + 2x^2 + x + 2 + x^3 — x^2 = 6x^2 + 6x — 12
\]

Приводим подобные:
\[
2x^3 + x^2 + x + 2 = 6x^2 + 6x — 12
\]

Переносим все в левую часть:
\[
2x^3 + x^2 + x + 2 — 6x^2 — 6x + 12 = 0
\]

Упрощаем:
\[
2x^3 — 5x^2 — 5x + 14 = 0
\]

Теперь решим это уравнение с помощью схемы Горнера.

Схема Горнера:
Попробуем найти корень методом подбора. Подставим \( x = 2 \) в исходное уравнение:
\[
2(2)^3 — 5(2)^2 — 5(2) + 14 = 0
\]

Таким образом, \( x = 2 \) является корнем уравнения. Теперь можем разделить многочлен \( 2x^3 — 5x^2 — 5x + 14 \) на \( x — 2 \) с помощью схемы Горнера.

Делаем деление:
\[
\begin{array}{c|cccc}
2 & 2 & -5 & -5 & 14 \\
& & 4 & -2 & -14 \\
\hline
& 2 & -1 & -7 & 0 \\
\end{array}
\]
Таким образом, деление привело к многочлену \( 2x^2 — x — 7 \), и у нас осталось уравнение:
\[
(x — 2)(2x^2 — x — 7) = 0
\]

Теперь решим квадратное уравнение \( 2x^2 — x — 7 = 0 \) с помощью дискриминанта:
\[
D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 1 + 56 = 57
\]

Находим корни:
\[
x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{57}}{2 \cdot 2} = \frac{1 — \sqrt{57}}{4}
\]

\[
x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{57}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + \sqrt{57}}{4}
\]

Ответ: \( \frac{1 + \sqrt{57}}{4} \).

в)
Рассмотрим уравнение:
\[
\frac{x^2 — 1}{x + 4} + \frac{x^2 + 1}{x + 2} = 1 — \frac{1}{x + 2}
\]

Для упрощения произведем приведение к общему знаменателю:
\[
\frac{(x^2 — 1)(x + 2)}{(x + 4)(x + 2)} + \frac{(x^2 + 1)(x + 4)}{(x + 4)(x + 2)} = \frac{(x + 2)(x + 4)}{(x + 4)(x + 2)}
\]

Теперь обе дроби с одинаковыми знаменателями:
\[
(x^2 — 1)(x + 2) + (x^2 + 1)(x + 4) = (x + 1)(x + 4)
\]

Раскрываем скобки:
\[
(x^2 — 1)(x + 2) = x^3 + 2x^2 — x — 2,\]

\[\quad (x^2 + 1)(x + 4) = x^3 + 4x^2 + x + 4
\]

Теперь подставим это в уравнение:
\[
x^3 + 2x^2 — x — 2 + x^3 + 4x^2 + x + 4 = x^2 + 5x + 4
\]

Приводим подобные:
\[
2x^3 + 6x^2 — 5x + 2 = x^2 + 5x + 4
\]

Переносим все в левую часть:
\[
2x^3 + 6x^2 — 5x + 2 — x^2 — 5x — 4 = 0
\]

Упрощаем:
\[
2x^3 + 5x^2 — 10x — 2 = 0
\]

Схема Горнера:
Подставим \( x = 1 \) в уравнение:
\[
2(1)^3 + 5(1)^2 — 10(1) — 2 = 0
\]

Таким образом, \( x = 1 \) является корнем уравнения. Теперь можем разделить многочлен \( 2x^3 + 5x^2 — 10x — 2 \) на \( x — 1 \) с помощью схемы Горнера.

Делаем деление:
\[
\begin{array}{c|cccc}
1 & 2 & 5 & -10 & -2 \\
& & 2 & 7 & -3 \\
\hline
& 2 & 7 & -3 & 0 \\
\end{array}
\]
Таким образом, деление привело к многочлену \( 2x^2 + 7x — 3 \), и у нас осталось уравнение:
\[
(x — 1)(2x^2 + 7x — 3) = 0
\]

Теперь решим квадратное уравнение \( 2x^2 + 7x — 3 = 0 \) с помощью дискриминанта:
\[
D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 49 + 24 = 73
\]

Находим корни:
\[
x_1 = \frac{-7 — \sqrt{73}}{4} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-7 + \sqrt{73}}{4}
\]

Ответ: \( x = 1 \).