ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 252 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите наибольший корень уравнения:

а)

$$\frac{x^2+2}{x+2}+\frac{x^2+3}{x}=5;$$

$$\frac{x^2 + 2}{x + 2} + \frac{x^2 + 3}{x} = 5;$$ $$$$б)

$$\frac{x^2+1}{x-1}+\frac{x^2}{x+2}=6;$$

$$\frac{x^2 + 1}{x — 1} + \frac{x^2}{x + 2} = 6;$$ $$$$в)

$$\frac{x^2-1}{x+4}+\frac{x^2+1}{x+2}=1-\frac{1}{x+2};$$

$$\frac{x^2 — 1}{x + 4} + \frac{x^2 + 1}{x + 2} = 1 — \frac{1}{x + 2};$$ $$$$г)

$$\frac{x^2}{x+2}+\frac{x^2+1}{x+1}=2-\frac{2}{x+2}$$

Наибольший корень:

а)

$$\frac{x^2+2}{x+2}+\frac{x^2+3}{x}=5;$$

$$\frac{x^2 + 2}{x + 2} + \frac{x^2 + 3}{x} = 5;$$ $$x(x^2+2)+(x+2)(x^2+3)=5x(x+2);$$

$$x(x^2 + 2) + (x + 2)(x^2 + 3) = 5x(x + 2);$$ $$x^3+2x+x^3+3x+2x^2+6=5x^2+10x;$$

$$x^3 + 2x + x^3 + 3x + 2x^2 + 6 = 5x^2 + 10x;$$ $$2x^3-3x^2-5x+6=0;$$

$$2x^3 — 3x^2 — 5x + 6 = 0;$$ $$\overline{)\begin{array}{ccccc}& 2& -3& -5& 6\\ 1& 2& -1& -6& 0\end{array}}$$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 2 & -3 & -5 & 6 \\ \hline 1 & 2 & -1 & -6 & 0 \\ \hline \end{array}$$ $$(x-1)(2x^2-x-6)=0;$$

$$(x — 1)(2x^2 — x — 6) = 0;$$ $$D=1^2+4\cdot 2\cdot 6=1+48=49;$$

$$D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 6 = 1 + 48 = 49;$$ $$x_1=\frac{1-7}{4}=-\frac{6}{4}=-\mathrm{1,5},x_2=\frac{1+7}{4}=2;$$

$$x_1 = \frac{1 — 7}{4} = -\frac{6}{4} = -1{,}5, \quad x_2 = \frac{1 + 7}{4} = 2;$$

Ответ: $\boxed{2}$

б)

$$\frac{x^2+1}{x-1}+\frac{x^2}{x+2}=6;$$

$$\frac{x^2 + 1}{x — 1} + \frac{x^2}{x + 2} = 6;$$ $$(x^2+1)(x+2)+x^2(x-1)=6(x-1)(x+2);$$

$$(x^2 + 1)(x + 2) + x^2(x — 1) = 6(x — 1)(x + 2);$$ $$x^3+2x^2+x+2+x^3-x^2=6x^2+6x-12;$$

$$x^3 + 2x^2 + x + 2 + x^3 — x^2 = 6x^2 + 6x — 12;$$ $$2x^3-5x^2-5x+14=0;$$

$$2x^3 — 5x^2 — 5x + 14 = 0;$$ $$\overline{)\begin{array}{ccccc}& 2& -5& -5& 14\\ 2& 2& -1& -7& 0\end{array}}$$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 2 & -5 & -5 & 14 \\ \hline 2 & 2 & -1 & -7 & 0 \\ \hline \end{array}$$ $$(x-2)(2x^2-x-7)=0;$$

$$(x — 2)(2x^2 — x — 7) = 0;$$ $$D=1^2+4\cdot 2\cdot 7=57;$$

$$D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 7 = 57;$$ $$x_1=\frac{1-\sqrt{57}}{4},x_2=\frac{1+\sqrt{57}}{4};$$

$$x_1 = \frac{1 — \sqrt{57}}{4}, \quad x_2 = \frac{1 + \sqrt{57}}{4};$$

Ответ: $\boxed{\frac{1 + \sqrt{57}}{4}}$

в)

$$\frac{x^2-1}{x+4}+\frac{x^2+1}{x+2}=1-\frac{1}{x+2};$$

$$\frac{x^2 — 1}{x + 4} + \frac{x^2 + 1}{x + 2} = 1 — \frac{1}{x + 2};$$ $$(x^2-1)(x+2)+(x^2+1)(x+4)=(x+1)(x+4);$$

$$(x^2 — 1)(x + 2) + (x^2 + 1)(x + 4) = (x + 1)(x + 4);$$ $$x^3+2x^2-x-2+x^3+4x^2+x+4=x^2+5x+4;$$

$$x^3 + 2x^2 — x — 2 + x^3 + 4x^2 + x + 4 = x^2 + 5x + 4;$$ $$2x^3+5x^2-5x-2=0;$$

$$2x^3 + 5x^2 — 5x — 2 = 0;$$ $$\overline{)\begin{array}{ccccc}& 2& 5& -5& -2\\ 1& 2& 7& 2& 0\end{array}}$$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 2 & 5 & -5 & -2 \\ \hline 1 & 2 & 7 & 2 & 0 \\ \hline \end{array}$$ $$(x-1)(2x^2+7x+2)=0;$$

$$(x — 1)(2x^2 + 7x + 2) = 0;$$ $$D=49-16=33;$$

$$D = 49 — 16 = 33;$$ $$x_1=\frac{-7-\sqrt{33}}{4},x_2=\frac{-7+\sqrt{33}}{4};$$

$$x_1 = \frac{-7 — \sqrt{33}}{4}, \quad x_2 = \frac{-7 + \sqrt{33}}{4};$$

Ответ: $\boxed{1}$

г)

$$\frac{x^2}{x+2}+\frac{x^2+1}{x+1}=2-\frac{2}{x+2};$$

$$\frac{x^2}{x + 2} + \frac{x^2 + 1}{x + 1} = 2 — \frac{2}{x + 2};$$ $$x^2(x+1)+(x^2+1)(x+2)=(2x+2)(x+1);$$

$$x^2(x + 1) + (x^2 + 1)(x + 2) = (2x + 2)(x + 1);$$ $$x^3+x^2+x^3+2x^2+x+2=2x^2+4x+2;$$

$$x^3 + x^2 + x^3 + 2x^2 + x + 2 = 2x^2 + 4x + 2;$$ $$2x^3+x^2-3x=0;$$

$$2x^3 + x^2 — 3x = 0;$$ $$x(2x^2+x-3)=0;$$

$$x(2x^2 + x — 3) = 0;$$ $$D=1^2+4\cdot 2\cdot 3=25;$$

$$D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25;$$ $$x_1=\frac{-1-5}{4}=-\mathrm{1,5},x_2=\frac{-1+5}{4}=1;$$

$$x_1 = \frac{-1 — 5}{4} = -1{,}5, \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{4} = 1;$$

Ответ: $\boxed{1}$

а)

$$\frac{x^2 + 2}{x + 2} + \frac{x^2 + 3}{x} = 5$$

Шаг 1. Убираем знаменатели

Домножим обе части на общий знаменатель:

$$\text{О.З.} = x(x + 2)$$

Умножаем обе части уравнения на $x(x + 2)$:

$$x(x^2 + 2) + (x + 2)(x^2 + 3) = 5x(x + 2)$$

Шаг 2. Раскрываем скобки

Левая часть:

1. $x(x^2 + 2) = x^3 + 2x$
2. $(x + 2)(x^2 + 3) = x^3 + 3x + 2x^2 + 6$

Суммируем:

$$x^3 + 2x + x^3 + 3x + 2x^2 + 6 = 2x^3 + 2x^2 + 5x + 6$$

Правая часть:

$$5x(x + 2) = 5x^2 + 10x$$

Шаг 3. Переносим всё в одну сторону:

$$2x^3 + 2x^2 + 5x + 6 — 5x^2 — 10x = 0$$ $$2x^3 — 3x^2 — 5x + 6 = 0$$

Шаг 4. Ищем корни

Пробуем подставлять рациональные числа: делители свободного члена 6:

$$\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$$

Проверка $x = 1$:

$$2(1)^3 — 3(1)^2 — 5(1) + 6 = 2 — 3 — 5 + 6 = 0 \Rightarrow x = 1 \text{ — корень}$$

Шаг 5. Делим многочлен на $x — 1$ (схема Горнера):

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 2 & -3 & -5 & 6 \\ \hline 1 & 2 & -1 & -6 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Получаем:

$$(x — 1)(2x^2 — x — 6) = 0$$

Шаг 6. Решаем квадратное уравнение

$$2x^2 — x — 6 = 0 \Rightarrow D = (-1)^2 + 4 \cdot 2 \cdot 6 = 1 + 48 = 49$$ $$x = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 7}{4} \Rightarrow x_1 = \frac{-6}{4} = -1{,}5, \quad x_2 = \frac{8}{4} = 2$$

Шаг 7. Все корни:

$$x = 1,\ -1{,}5,\ 2 \Rightarrow \text{Наибольший: } \boxed{2}$$

б)

$$\frac{x^2 + 1}{x — 1} + \frac{x^2}{x + 2} = 6$$

Шаг 1. Убираем знаменатели

Общий знаменатель: $(x — 1)(x + 2)$

Домножаем обе части:

$$(x^2 + 1)(x + 2) + x^2(x — 1) = 6(x — 1)(x + 2)$$

Шаг 2. Раскрываем скобки

Левая часть:

1. $x^2(x + 2) + 1(x + 2) = x^3 + 2x^2 + x + 2$
2. $x^2(x — 1) = x^3 — x^2$

Итого:

$$x^3 + 2x^2 + x + 2 + x^3 — x^2 = 2x^3 + x^2 + x + 2$$

Правая часть:

$$6(x^2 + 2x — 1x — 2) = 6(x^2 + x — 2) = 6x^2 + 6x — 12$$

Шаг 3. Переносим в одну сторону

$$2x^3 + x^2 + x + 2 — 6x^2 — 6x + 12 = 0$$ $$2x^3 — 5x^2 — 5x + 14 = 0$$

Шаг 4. Пробуем корни:

Делители свободного члена: $\pm1, \pm2, \pm7, \pm14$

Проверка $x = 2$:

$$2(8) — 5(4) — 5(2) + 14 = 16 — 20 — 10 + 14 = 0 \Rightarrow x = 2 \text{ — корень}$$

Шаг 5. Делим на $x — 2$:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 2 & -5 & -5 & 14 \\ \hline 2 & 2 & -1 & -7 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Получили:

$$(x — 2)(2x^2 — x — 7) = 0$$

Шаг 6. Решаем квадратное уравнение

$$2x^2 — x — 7 = 0 \Rightarrow D = 1 + 56 = 57 \Rightarrow x = \frac{1 \pm \sqrt{57}}{4}$$

Шаг 7. Все корни:

$$x = 2, \quad \frac{1 \pm \sqrt{57}}{4} \Rightarrow \text{Наибольший: } \boxed{\frac{1 + \sqrt{57}}{4}}$$

в)

$$\frac{x^2 — 1}{x + 4} + \frac{x^2 + 1}{x + 2} = 1 — \frac{1}{x + 2}$$

Шаг 1. Приводим правую часть

$$1 — \frac{1}{x + 2} = \frac{x + 1}{x + 2}$$

Шаг 2. Домножаем обе части на $(x + 2)(x + 4)$

Левая часть:

• $(x^2 — 1)(x + 2) + (x^2 + 1)(x + 4)$

Правая часть:

• $(x + 1)(x + 4)$

Шаг 3. Раскрываем скобки

1. $x^3 + 2x^2 — x — 2$
2. $x^3 + 4x^2 + x + 4$

Суммируем:

$$2x^3 + 6x^2 + 2$$

Правая часть:

$$x^2 + 5x + 4$$

Шаг 4. Переносим всё влево:

$$2x^3 + 6x^2 + 2 — x^2 — 5x — 4 = 2x^3 + 5x^2 — 5x — 2$$

Шаг 5. Пробуем корни

Проверка $x = 1$:

$$2 + 5 — 5 — 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \text{ — корень}$$

Шаг 6. Делим на $x — 1$:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 2 & 5 & -5 & -2 \\ \hline 1 & 2 & 7 & 2 & 0 \\ \hline \end{array}$$ $$(x — 1)(2x^2 + 7x + 2) = 0$$ $$D = 49 — 16 = 33 \Rightarrow x = \frac{-7 \pm \sqrt{33}}{4}$$

Шаг 7. Корни:

$$x = 1, \quad \frac{-7 \pm \sqrt{33}}{4} \Rightarrow \text{Наибольший: } \boxed{1}$$

г)

$$\frac{x^2}{x + 2} + \frac{x^2 + 1}{x + 1} = 2 — \frac{2}{x + 2}$$

Шаг 1. Приводим правую часть

$$2 — \frac{2}{x + 2} = \frac{2x + 2}{x + 2}$$

Шаг 2. Домножим обе части на $(x + 1)(x + 2)$

Левая часть:

• $x^2(x + 1) + (x^2 + 1)(x + 2) = x^3 + x^2 + x^3 + 2x^2 + x + 2$

$$= 2x^3 + 3x^2 + x + 2$$

Правая часть:

• $(2x + 2)(x + 1) = 2x^2 + 4x + 2$

Шаг 3. Переносим всё влево:

$$2x^3 + 3x^2 + x + 2 — 2x^2 — 4x — 2 = 2x^3 + x^2 — 3x = 0$$

Шаг 4. Выносим $x$:

$$x(2x^2 + x — 3) = 0$$

Шаг 5. Решаем квадратное уравнение

$$D = 1^2 + 24 = 25 \Rightarrow x = \frac{-1 \pm 5}{4} \Rightarrow x_1 = -1{,}5, \quad x_2 = 1$$

Шаг 6. Все корни:

$$x = 0,\ -1{,}5,\ 1 \Rightarrow \boxed{1}$$

Финальные ответы (наибольшие корни):