ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 251 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения:

а)

$$\frac{1}{x+10} — \frac{1}{x-1} = \frac{1}{x+8} — \frac{1}{x-3};$$ $$\frac{}{}$$б)

$$\frac{1}{x-4} + \frac{1}{x-5} = \frac{1}{x-8} + \frac{1}{x-1};$$ $$\frac{}{}$$в)

$$\frac{x+2}{x+1} — \frac{x+11}{x+10} = \frac{2x-5}{2x-7} — \frac{x-1}{x-2};$$ $$\frac{}{}$$г)

$$\frac{2x+9}{x+3}-\frac{x+8}{x+4}=\frac{2x+15}{x+5}-\frac{x+12}{x+6}$$

Решить уравнение:

а)

$$\frac{1}{x+10}-\frac{1}{x-1}=\frac{1}{x+8}-\frac{1}{x-3};$$

$$\frac{1}{x+10} — \frac{1}{x-1} = \frac{1}{x+8} — \frac{1}{x-3};$$ $$\frac{x-1-x-10}{(x-1)(x+10)}=\frac{x-3-x-8}{(x-3)(x+8)};$$

$$\frac{x-1 — x-10}{(x-1)(x+10)} = \frac{x-3 — x-8}{(x-3)(x+8)};$$ $$-\frac{11}{(x-1)(x+10)}=-\frac{11}{(x-3)(x+8)};$$

$$-\frac{11}{(x-1)(x+10)} = -\frac{11}{(x-3)(x+8)};$$ $$(x-1)(x+10)=(x-3)(x+8);$$

$$(x-1)(x+10) = (x-3)(x+8);$$ $$x^2+10x-x-10=x^2+8x-3x-24;$$

$$x^2 + 10x — x — 10 = x^2 + 8x — 3x — 24;$$ $$4x = -14, \quad 2x = -7, \quad x = -\frac{7}{2} = -3{,}5;$$

Ответ: $-3{,}5$

б)

$$\frac{1}{x-4}+\frac{1}{x-5}=\frac{1}{x-8}+\frac{1}{x-1};$$

$$\frac{1}{x-4} + \frac{1}{x-5} = \frac{1}{x-8} + \frac{1}{x-1};$$ $$\frac{x-5+x-4}{(x-4)(x-5)}=\frac{x-1+x-8}{(x-8)(x-1)};$$

$$\frac{x-5 + x-4}{(x-4)(x-5)} = \frac{x-1 + x-8}{(x-8)(x-1)};$$ $$\frac{2x-9}{(x-4)(x-5)}=\frac{2x-9}{(x-8)(x-1)};$$

$$\frac{2x-9}{(x-4)(x-5)} = \frac{2x-9}{(x-8)(x-1)};$$ $$(x-4)(x-5)=(x-8)(x-1);$$

$$(x-4)(x-5) = (x-8)(x-1);$$ $$x^2-5x-4x+20=x^2-x-8x+8;$$

$$x^2 — 5x — 4x + 20 = x^2 — x — 8x + 8;$$ $$0x = 12, \quad x \in \varnothing; \quad 2x — 9 = 0, \quad x = 4{,}5;$$

Ответ: $4{,}5$

в)

$$\frac{x+2}{x+1}-\frac{x+11}{x+10}=\frac{2x-5}{2x-7}-\frac{x-1}{x-2};$$

$$\frac{x+2}{x+1} — \frac{x+11}{x+10} = \frac{2x-5}{2x-7} — \frac{x-1}{x-2};$$ $$\frac{(x+2)(x+10)-(x+11)(x+1)}{(x+1)(x+10)}=\frac{(2x-5)(x-2)-(x-1)(2x-7)}{(2x-7)(x-2)};$$

$$\frac{(x+2)(x+10) — (x+11)(x+1)}{(x+1)(x+10)} = \frac{(2x-5)(x-2) — (x-1)(2x-7)}{(2x-7)(x-2)};$$ $$\frac{x^2+12x+20-x^2-12x-11}{x^2+11x+10}=\frac{2x^2-9x+10-2x^2+9x-7}{2x^2-11x+14};$$

$$\frac{x^2 + 12x + 20 — x^2 — 12x — 11}{x^2 + 11x + 10} = \frac{2x^2 — 9x + 10 — 2x^2 + 9x — 7}{2x^2 — 11x + 14};$$ $$\frac{9}{x^2+11x+10}=\frac{3}{2x^2-11x+14};$$

$$\frac{9}{x^2 + 11x + 10} = \frac{3}{2x^2 — 11x + 14};$$ $$x^2+11x+10=3(2x^2-11x+14);$$

$$x^2 + 11x + 10 = 3(2x^2 — 11x + 14);$$ $$x^2+11x+10=6x^2-33x+42;$$

$$x^2 + 11x + 10 = 6x^2 — 33x + 42;$$ $$5x^2-44x+32=0;$$

$$5x^2 — 44x + 32 = 0;$$ $$D={44}^2-4\cdot 5\cdot 32=1936-640=1296,\text{ тогда:}$$

$$D = 44^2 — 4 \cdot 5 \cdot 32 = 1936 — 640 = 1296, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{44 — 36}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} = 0{,}8, \quad x_2 = \frac{44 + 36}{2 \cdot 5} = \frac{80}{10} = 8;$$

Ответ: $0{,}8;\; 8$

г)

$$\frac{2x+9}{x+3}-\frac{x+8}{x+4}=\frac{2x+15}{x+5}-\frac{x+12}{x+6};$$

$$\frac{2x+9}{x+3} — \frac{x+8}{x+4} = \frac{2x+15}{x+5} — \frac{x+12}{x+6};$$ $$\frac{(2x+9)(x+4)-(x+8)(x+3)}{(x+3)(x+4)}=\frac{(2x+15)(x+6)-(x+12)(x+5)}{(x+5)(x+6)};$$

$$\frac{(2x+9)(x+4) — (x+8)(x+3)}{(x+3)(x+4)} = \frac{(2x+15)(x+6) — (x+12)(x+5)}{(x+5)(x+6)};$$ $$\frac{2x^2+17x+36-x^2-11x-24}{x^2+7x+12}=\frac{2x^2+27x+90-x^2-17x-60}{x^2+11x+30};$$

$$\frac{2x^2 + 17x + 36 — x^2 — 11x — 24}{x^2 + 7x + 12} = \frac{2x^2 + 27x + 90 — x^2 — 17x — 60}{x^2 + 11x + 30};$$ $$\frac{x^2+6x+12}{x^2+7x+12}=\frac{x^2+10x+30}{x^2+11x+30};$$

$$\frac{x^2 + 6x + 12}{x^2 + 7x + 12} = \frac{x^2 + 10x + 30}{x^2 + 11x + 30};$$ $$(x^2+6x+12)(x^2+11x+30)=(x^2+10x+30)(x^2+7x+12);$$

$$(x^2 + 6x + 12)(x^2 + 11x + 30) = (x^2 + 10x + 30)(x^2 + 7x + 12);$$ $$x^4+17x^3+108x^2+312x+360=x^4+17x^3+112x^2+330x+360;$$

$$x^4 + 17x^3 + 108x^2 + 312x + 360 = x^4 + 17x^3 + 112x^2 + 330x + 360;$$ $$4x^2 + 18x = 0, \quad 2x(2x + 9) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, \quad x_2 = -4{,}5;$$

Ответ: $-4{,}5;\; 0$

а)

$$\frac{1}{x + 10} — \frac{1}{x — 1} = \frac{1}{x + 8} — \frac{1}{x — 3}$$

Шаг 1. Приводим левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{1}{x + 10} — \frac{1}{x — 1} = \frac{(x — 1) — (x + 10)}{(x + 10)(x — 1)} = \frac{-11}{(x + 10)(x — 1)}$$

Шаг 2. Приводим правую часть к общему знаменателю:

$$\frac{1}{x + 8} — \frac{1}{x — 3} = \frac{(x — 3) — (x + 8)}{(x + 8)(x — 3)} = \frac{-11}{(x + 8)(x — 3)}$$

Шаг 3. Получаем:

$$\frac{-11}{(x + 10)(x — 1)} = \frac{-11}{(x + 8)(x — 3)}$$

Домножим обе части на $-1$ и сократим на 11:

$$\frac{1}{(x + 10)(x — 1)} = \frac{1}{(x + 8)(x — 3)}$$

Шаг 4. Убираем знаменатели (при условии, что они не равны нулю):

$$(x + 10)(x — 1) = (x + 8)(x — 3)$$

Шаг 5. Раскроем скобки:

Левая часть:

$$x^2 — x + 10x — 10 = x^2 + 9x — 10$$

Правая часть:

$$x^2 — 3x + 8x — 24 = x^2 + 5x — 24$$

Шаг 6. Приравниваем:

$$x^2 + 9x — 10 = x^2 + 5x — 24$$

Шаг 7. Упростим:

Вычитаем $x^2$ из обеих частей:

$$9x — 10 = 5x — 24$$

Переносим:

$$9x — 5x = -24 + 10 \Rightarrow 4x = -14 \Rightarrow x = -\frac{7}{2} = -3{,}5$$

Шаг 8. Проверка ОДЗ:

Знаменатели не должны равняться нулю:

• $x \ne -10, -8, -3, -1, 1, 3$ — всё нормально, $x = -3{,}5$ подходит.

Ответ: $\boxed{-3{,}5}$

б)

$$\frac{1}{x — 4} + \frac{1}{x — 5} = \frac{1}{x — 8} + \frac{1}{x — 1}$$

Шаг 1. Приводим левую часть:

$$\frac{x — 5 + x — 4}{(x — 4)(x — 5)} = \frac{2x — 9}{(x — 4)(x — 5)}$$

Шаг 2. Приводим правую часть:

$$\frac{x — 1 + x — 8}{(x — 8)(x — 1)} = \frac{2x — 9}{(x — 8)(x — 1)}$$

Шаг 3. Получили:

$$\frac{2x — 9}{(x — 4)(x — 5)} = \frac{2x — 9}{(x — 8)(x — 1)}$$

Шаг 4. Возможны два случая:

1. $2x — 9 = 0$

$$x = \frac{9}{2} = 4{,}5$$

2. Сократим обе части на $2x — 9$ (если $\ne 0$), получим:

$$(x — 4)(x — 5) = (x — 8)(x — 1)$$

Раскроем скобки:

• Левая: $x^2 — 5x — 4x + 20 = x^2 — 9x + 20$
• Правая: $x^2 — x — 8x + 8 = x^2 — 9x + 8$

$$x^2 — 9x + 20 = x^2 — 9x + 8 \Rightarrow 0 = -12 \Rightarrow \text{Нет решений}$$

Ответ: $\boxed{4{,}5}$

в)

$$\frac{x + 2}{x + 1} — \frac{x + 11}{x + 10} = \frac{2x — 5}{2x — 7} — \frac{x — 1}{x — 2}$$

Шаг 1. Левая часть (приводим к общему знаменателю):

$$\frac{(x + 2)(x + 10) — (x + 11)(x + 1)}{(x + 1)(x + 10)}$$

Числитель:

• $(x + 2)(x + 10) = x^2 + 12x + 20$
• $(x + 11)(x + 1) = x^2 + 12x + 11$

$$x^2 + 12x + 20 — x^2 — 12x — 11 = 9 \Rightarrow \text{Левая часть: } \frac{9}{x^2 + 11x + 10}$$

Шаг 2. Правая часть:

$$\frac{(2x — 5)(x — 2) — (x — 1)(2x — 7)}{(2x — 7)(x — 2)}$$

Числитель:

• $(2x — 5)(x — 2) = 2x^2 — 9x + 10$
• $(x — 1)(2x — 7) = 2x^2 — 9x + 7$

$$2x^2 — 9x + 10 — 2x^2 + 9x — 7 = 3 \Rightarrow \text{Правая часть: } \frac{3}{2x^2 — 11x + 14}$$

Шаг 3. Получаем уравнение:

$$\frac{9}{x^2 + 11x + 10} = \frac{3}{2x^2 — 11x + 14}$$

Крест-накрест:

$$9(2x^2 — 11x + 14) = 3(x^2 + 11x + 10)$$

Шаг 4. Раскрываем скобки:

Левая:

$$18x^2 — 99x + 126$$

Правая:

$$3x^2 + 33x + 30$$

Шаг 5. Переносим всё влево:

$$18x^2 — 99x + 126 — 3x^2 — 33x — 30 = 15x^2 — 132x + 96 = 0$$

Шаг 6. Упростим:

$$5x^2 — 44x + 32 = 0$$

Шаг 7. Решим квадратное уравнение:

$$D={44}^2-4\cdot 5\cdot 32=1936-640=1296\Rightarrow \sqrt{D}=36$$

$$D = 44^2 — 4 \cdot 5 \cdot 32 = 1936 — 640 = 1296 \Rightarrow \sqrt{D} = 36$$ $$x = \frac{44 \pm 36}{10} \Rightarrow x_1 = \frac{8}{10} = 0{,}8; \quad x_2 = \frac{80}{10} = 8$$

Шаг 8. Проверка ОДЗ:

Запрещённые значения: $x \ne -10, -1, 2, \frac{7}{2} = 3.5$
Оба корня допустимы.

Ответ: $\boxed{0{,}8;\; 8}$

г)

$$\frac{2x + 9}{x + 3} — \frac{x + 8}{x + 4} = \frac{2x + 15}{x + 5} — \frac{x + 12}{x + 6}$$

Шаг 1. Считаем левую часть:

$$\frac{(2x + 9)(x + 4) — (x + 8)(x + 3)}{(x + 3)(x + 4)}$$

Раскрытие:

• $(2x + 9)(x + 4) = 2x^2 + 8x + 9x + 36 = 2x^2 + 17x + 36$
• $(x + 8)(x + 3) = x^2 + 11x + 24$

$$\text{Числитель: } 2x^2 + 17x + 36 — x^2 — 11x — 24 = x^2 + 6x + 12$$

Знаменатель: $x^2 + 7x + 12$

Шаг 2. Правая часть:

$$\frac{(2x + 15)(x + 6) — (x + 12)(x + 5)}{(x + 5)(x + 6)}$$

Раскрытие:

• $(2x + 15)(x + 6) = 2x^2 + 12x + 15x + 90 = 2x^2 + 27x + 90$
• $(x + 12)(x + 5) = x^2 + 17x + 60$

$$\text{Числитель: } x^2 + 10x + 30; \quad \text{Знаменатель: } x^2 + 11x + 30$$

Шаг 3. Получаем:

$$\frac{x^2 + 6x + 12}{x^2 + 7x + 12} = \frac{x^2 + 10x + 30}{x^2 + 11x + 30}$$

Шаг 4. Крест-накрест:

$$(x^2 + 6x + 12)(x^2 + 11x + 30) = (x^2 + 10x + 30)(x^2 + 7x + 12)$$

Раскрытие скобок:

Левая часть:

$$x^4 + 17x^3 + 108x^2 + 312x + 360$$

Правая часть:

$$x^4 + 17x^3 + 112x^2 + 330x + 360$$

Шаг 5. Переносим всё влево:

$$(x^4+17x^3+108x^2+312x+360)-(x^4+17x^3+112x^2+330x+360)=0$$

$$(x^4 + 17x^3 + 108x^2 + 312x + 360) — (x^4 + 17x^3 + 112x^2 + 330x + 360) = 0$$ $$-4x^2 — 18x = 0 \Rightarrow -2x(2x + 9) = 0 \Rightarrow x = 0; \quad x = -4{,}5$$

Шаг 6. Проверка ОДЗ:

$x \ne -6, -5, -4, -3$

Оба корня $0$ и $-4{,}5$ допустимы.

Ответ: $\boxed{{\displaystyle -\mathrm{4,5};0}}$