ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 251 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения:

а) 1/(x+10)-1/(x-1)=1/(x+8)-1/(x-3);

б) 1/(x-4)+1/(x-5)=1/(x-8)+1/(x-1);

в) (x+2)/(x+1)-(x+11)/(x+10)=(2x-5)/(2x-7)-(x-1)/(x-2);

г) (2x+9)/(x+3)-(x+8)/(x+4)=(2x+15)/(x+5)-(x+12)/(x+6).

а)
\[
\frac{1}{x + 10} + \frac{1}{x — 1} = \frac{1}{x + 8} + \frac{1}{x — 3};
\]

\[
\frac{x — 1 — x — 10}{(x — 1)(x + 10)} = \frac{x — 3 — x — 8}{(x — 3)(x + 8)};
\]

\[
\frac{11}{(x — 1)(x + 10)} = \frac{11}{(x — 3)(x + 8)};
\]

\[
(x — 1)(x + 10) = (x — 3)(x + 8);
\]

\[
x^2 + 10x — x — 10 = x^2 + 8x — 3x — 24;
\]

\[
4x = -14, \quad 2x = -7, \quad x = -\frac{7}{2} = -3,5;
\]

Ответ: \(-3,5\).

б)
\[
\frac{1}{x — 4} + \frac{1}{x — 5} = \frac{1}{x — 8} + \frac{1}{x — 1};
\]

\[
\frac{x — 5 + x — 4}{(x — 4)(x — 5)} = \frac{x — 1 + x — 8}{(x — 8)(x — 1)};
\]

\[
\frac{2x — 9}{(x — 4)(x — 5)} = \frac{2x — 9}{(x — 8)(x — 1)};
\]

\[
(x — 4)(x — 5) = (x — 8)(x — 1);
\]

\[
x^2 — 5x — 4x + 20 = x^2 — x — 8x + 8;
\]

\[
0x = 12, \quad x \in \emptyset, \quad 2x — 9 = 0, \quad x = 4,5;
\]

Ответ: \(4,5\).

в)
\[
\frac{x + 2}{x + 1} + \frac{x + 11}{x + 10} = \frac{2x — 5}{2x — 7} + \frac{x — 1}{x — 2};
\]

\[
\frac{(x + 2)(x + 10) — (x + 11)(x + 1)}{(x + 1)(x + 10)} =\]

\[\frac{(2x — 5)(x — 2) — (x — 1)(2x — 7)}{(2x — 7)(x — 2)};
\]

\[
x^2 + 12x + 20 — x^2 — 12x — 11 = 2x^2 — 9x + 10 — 2x^2 + 9x — 7;
\]

\[
x^2 + 11x + 10 = 2x^2 — 11x + 14;
\]

\[
\frac{9}{x^2 + 11x + 10} = \frac{3}{2x^2 — 11x + 14};
\]

\[
x^2 + 11x + 10 = 3(2x^2 — 11x + 14);
\]

\[
x^2 + 11x + 10 = 6x^2 — 33x + 42;
\]

\[
5x^2 — 44x + 32 = 0;
\]

\[
D = 44^2 — 4 \cdot 5 \cdot 32 = 1936 — 640 = 1296, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{44 — 36}{2 \cdot 5} = 0,8 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{44 + 36}{2 \cdot 5} = 8;
\]

Ответ: \(0,8; 8\).

г)
\[
\frac{2x + 9}{x + 3} + \frac{x + 8}{x + 4} = \frac{2x + 15}{x + 5} + \frac{x + 12}{x + 6};
\]

\[
\frac{(2x + 9)(x + 4) — (x + 8)(x + 3)}{(x + 3)(x + 4)} =\]

\[\frac{(2x + 15)(x + 6) — (x + 12)(x + 5)}{(x + 5)(x + 6)};
\]

\[
2x^2 + 17x + 36 — x^2 — 11x — 24 = 2x^2 + 27x + 90 — x^2 — 17x — 60;
\]

\[
x^2 + 6x + 12 = x^2 + 10x + 30;
\]

\[
x^2 + 7x + 12 = x^2 + 11x + 30;
\]

\[
(x^2 + 6x + 12)(x^2 + 11x + 30) = (x^2 + 10x + 30)(x^2 + 7x + 12);
\]

\[
x^4 + 17x^3 + 108x^2 + 312x + 360 = x^4 + 17x^3 + 112x^2 + 330x + 360;
\]

\[
4x^2 + 18x = 0, \quad 2x(2x + 9), \quad x_1 = 0, \quad x_2 = -4,5;
\]

Ответ: \(-4,5; 0\).

Заданы несколько уравнений. Давайте решим их пошагово:

а) \( \frac{1}{x + 10} + \frac{1}{x — 1} = \frac{1}{x + 8} + \frac{1}{x — 3}; \)

Шаг 1: Приводим дроби к общему знаменателю:

\[
\frac{x — 1 — x — 10}{(x — 1)(x + 10)} = \frac{x — 3 — x — 8}{(x — 3)(x + 8)};
\]

Шаг 2: Упрощаем числители:

\[
\frac{11}{(x — 1)(x + 10)} = \frac{11}{(x — 3)(x + 8)};
\]

Шаг 3: Умножаем обе части уравнения на \( (x — 1)(x + 10)(x — 3)(x + 8) \):

\[
(x — 1)(x + 10) = (x — 3)(x + 8);
\]

Шаг 4: Раскрываем скобки и упрощаем:

\[
x^2 + 10x — x — 10 = x^2 + 8x — 3x — 24;
\]

Шаг 5: Приводим подобные члены:

\[
x^2 + 9x — 10 = x^2 + 5x — 24;
\]

Шаг 6: Убираем \( x^2 \) с обеих сторон:

\[
9x — 10 = 5x — 24;
\]

Шаг 7: Решаем для \( x \):

\[
4x = -14, \quad x = -\frac{7}{2} = -3,5;
\]

Шаг 8: Область определения:

\( x — 2 \neq 0, \quad x \neq 2; \quad x — 4 \neq 0, \quad x \neq 4; \quad x — 5 \neq 0, \quad x \neq 5; \)

Ответ: \( -3,5 \).

б) \( \frac{12x}{2x — 1} — \frac{23}{x + 4} = \frac{2}{x — 7}; \)

Шаг 1: Приводим дроби к общему знаменателю:

\[
\frac{12x}{(x + 6)(x — 7)} + \frac{3}{(x — 4)(x — 7)} = \frac{2}{(x — 7)};
\]

Шаг 2: Умножаем обе части на \( (x — 7) \):

\[
12x(x + 4) — 23(2x — 1) = 1;
\]

Шаг 3: Раскрываем скобки:

\[
12x^2 + 48x — 46x + 23 = 1;
\]

Шаг 4: Приводим подобные члены:

\[
12x^2 + 2x + 22 = 0;
\]

Шаг 5: Решаем квадратное уравнение:

\[
6x^2 + x + 11 = 0;
\]

Шаг 6: Рассчитываем дискриминант:

\[
D = 1^2 — 4 \cdot 6 \cdot 11 = -11;
\]

Шаг 7: Поскольку дискриминант меньше нуля, корней в вещественных числах нет.

Ответ: корней нет.

в) \( \frac{x + 2}{x + 1} + \frac{x + 11}{x + 10} = \frac{2x — 5}{2x — 7} + \frac{x — 1}{x — 2}; \)

Шаг 1: Приводим обе части уравнения к общему знаменателю:

\[
\frac{(x + 2)(x + 10) — (x + 11)(x + 1)}{(x + 1)(x + 10)} =\]

\[\frac{(2x — 5)(x — 2) — (x — 1)(2x — 7)}{(2x — 7)(x — 2)};
\]

Шаг 2: Упрощаем числители:

\[
x^2 + 12x + 20 — x^2 — 12x — 11 = 2x^2 — 9x + 10 — 2x^2 + 9x — 7;
\]

Шаг 3: Приводим подобные члены:

\[
x^2 + 11x + 10 = 2x^2 — 11x + 14;
\]

Шаг 4: Приводим уравнение к виду:

\[
x^2 + 7x + 12 = x^2 + 11x + 30;
\]

Шаг 5: Переносим все члены в одну сторону:

\[
x^2 + 7x + 12 — x^2 — 11x — 30 = 0;
\]

Шаг 6: Упрощаем:

\[
-4x — 18 = 0;
\]

Шаг 7: Решаем для \( x \):

\[
-4x = 18, \quad x = -\frac{18}{4} = -4,5;
\]

Шаг 8: Область определения: \( x + 2 \neq 0, \quad x \neq -2; \quad x — 7 \neq 0, \quad x \neq 7; \quad x — 4 \neq 0, \quad x \neq 4; \)

Ответ: \( -4,5; 0 \).