ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 250 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что не имеет корней уравнение:

а) 1/(2x+1)+1/(1-4x^2)-(3x-1)/(6x-3)=0;

б) 12x/(2x-1)-23/(x+4)=1/(2x^2+7x-4);

в) x(x^2-1)/(3(x-2))+(x+4)/(6-3x)=0.

Уравнение не имеет корней:

а)
\[
\frac{1}{2x + 1} + \frac{1}{1 — 4x^2} = \frac{3x — 1}{6x — 3};
\]

\[
\frac{1}{2x + 1} + \frac{1}{(2x — 1)(2x + 1)} = \frac{3x — 1}{3(2x — 1)};
\]

\[
3(2x — 1) — 3 — (3x — 1)(2x + 1) = 0;
\]

\[
6x — 3 — 3 — 6x^2 — 3x + 2x + 1 = 0;
\]

\[
6x^2 — 5x + 5 = 0;
\]

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 6 \cdot 5 = -95;
\]

\[
D < 0, \quad \text{значит, корней нет.}
\]

Что и требовалось доказать.

б)
\[
\frac{12x}{2x — 1} — \frac{23}{x + 4} = \frac{1}{2x^2 + 7x — 4};
\]

\[
\frac{12x}{2x — 1} — \frac{23}{x + 4} = \frac{1}{(2x — 1)(x + 4)};
\]

\[
12x(x + 4) — 23(2x — 1) = 1;
\]

\[
12x^2 + 48x — 46x + 23 = 1;
\]

\[
12x^2 + 2x + 22 = 0;
\]

\[
6x^2 + x + 11 = 0;
\]

Что и требовалось доказать.

в)
\[
\frac{x(x^2 — 1)}{3(x — 2)} + \frac{x + 4}{6 — 3x} = 0;
\]

\[
\frac{x^3 — x}{3(x — 2)} + \frac{x + 4}{3(x — 2)} = 0;
\]

\[
x^3 — x — x — 4 = 0;
\]

\[
x^3 — 2x — 4 = 0;
\]

\[
(x — 2)(x^2 + 2x + 2) = 0;
\]

\[
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = -4;
\]

\[
D < 0, \quad \text{значит, корней нет.}
\]

Что и требовалось доказать.

Заданы три уравнения, давайте решим их и докажем, что в некоторых случаях корней нет.

а) \( \frac{1}{2x + 1} + \frac{1}{1 — 4x^2} = \frac{3x — 1}{6x — 3}; \)

Шаг 1: Приводим дроби к общему знаменателю:

\[
\frac{1}{2x + 1} + \frac{1}{(2x — 1)(2x + 1)} = \frac{3x — 1}{3(2x — 1)}.
\]

Шаг 2: Умножаем обе части на \(3(2x — 1)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[
3(2x — 1) — 3 — (3x — 1)(2x + 1) = 0;
\]

Шаг 3: Раскрываем скобки и упрощаем:

\[
6x — 3 — 3 — 6x^2 — 3x + 2x + 1 = 0;
\]

Шаг 4: Приводим подобные члены:

\[
6x^2 — 5x + 5 = 0;
\]

Шаг 5: Рассчитываем дискриминант:

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 6 \cdot 5 = 25 — 120 = -95;
\]

Шаг 6: Поскольку дискриминант меньше нуля, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Корней нет.

б) \( \frac{12x}{2x — 1} — \frac{23}{x + 4} = \frac{1}{2x^2 + 7x — 4}; \)

Шаг 1: Приводим дроби к общему знаменателю:

\[
\frac{12x}{2x — 1} — \frac{23}{x + 4} = \frac{1}{(2x — 1)(x + 4)}.
\]

Шаг 2: Умножаем обе части на \( (2x — 1)(x + 4) \), чтобы избавиться от знаменателей:

\[
12x(x + 4) — 23(2x — 1) = 1;
\]

Шаг 3: Раскрываем скобки:

\[
12x^2 + 48x — 46x + 23 = 1;
\]

Шаг 4: Приводим подобные члены:

\[
12x^2 + 2x + 22 = 0;
\]

Шаг 5: Делим обе части на 2 для упрощения:

\[
6x^2 + x + 11 = 0;
\]

Шаг 6: Поскольку дискриминант этого уравнения отрицателен, у уравнения нет действительных корней.

Ответ: Корней нет.

в) \( \frac{x(x^2 — 1)}{3(x — 2)} + \frac{x + 4}{6 — 3x} = 0; \)

Шаг 1: Упростим уравнение:

\[
\frac{x^3 — x}{3(x — 2)} + \frac{x + 4}{3(x — 2)} = 0;
\]

Шаг 2: Приводим дроби к общему знаменателю:

\[
x^3 — x — x — 4 = 0;
\]

Шаг 3: Упрощаем выражение:

\[
x^3 — 2x — 4 = 0;
\]

Шаг 4: Разбиваем уравнение на множители:

\[
(x — 2)(x^2 + 2x + 2) = 0;
\]

Шаг 5: Рассчитываем дискриминант для второго множителя:

\[
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 — 8 = -4;
\]

Шаг 6: Поскольку дискриминант меньше нуля, у второго множителя нет действительных корней. Таким образом, у уравнения есть только одно решение: \( x = 2 \), но оно исключается, так как при \( x = 2 \) знаменатель \( x — 2 \) становится равным нулю.

Ответ: Корней нет.