ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 249 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения:

а) (x+5)/(x^2-6x+8)+1/(x^2-7x+10)=1/(x-2);

б) (2x-3)/(x^2-x-42)-3/(x^2-11x+28)=2/(x-7).

Решить уравнение:

а)
\[
\frac{x + 5}{x^2 — 6x + 8} + \frac{1}{x^2 — 7x + 10} = \frac{1}{x — 2};
\]

\[
\frac{x + 5}{(x — 2)(x — 4)} + \frac{1}{(x — 2)(x — 5)} = \frac{1}{x — 2};
\]

\[
(x + 5)(x — 5) + x — 4 = (x — 4)(x — 5);
\]

\[
x^2 — 25 + x — 4 = x^2 — 5x — 4x + 20;
\]

\[
10x = 49, \quad x = 4,9;
\]

Область определения:

\[
x — 2 \neq 0, \quad x \neq 2; \quad x — 4 \neq 0, \quad x \neq 4; \quad x — 5 \neq 0, \quad x \neq 5;
\]

Ответ: 4,9.

б)
\[
\frac{2x — 3}{x^2 — x — 42} + \frac{3}{x^2 — 11x + 28} = \frac{2}{x — 7};
\]

\[
\frac{2x — 3}{(x + 6)(x — 7)} + \frac{3}{(x — 4)(x — 7)} = \frac{2}{x — 7};
\]

\[
(2x — 3)(x — 4) — 3(x + 6) = 2(x + 6)(x — 4);
\]

\[
2x^2 — 8x — 3x + 12 — 3x — 18 = 2x^2 + 4x — 48;
\]

\[
18x = 42, \quad x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3};
\]
Область определения:

\[
x + 6 \neq 0, \quad x \neq -6; \quad x — 7 \neq 0, \quad x \neq 7; \quad x — 4 \neq 0, \quad x \neq 4;
\]

Ответ: \(2\frac{1}{3}\).

Заданы два уравнения, давайте решим их пошагово:

а) \( \frac{x + 5}{x^2 — 6x + 8} + \frac{1}{x^2 — 7x + 10} = \frac{1}{x — 2}; \)

Шаг 1: Приводим выражения в знаменателях к множителям:

\( x^2 — 6x + 8 = (x — 2)(x — 4), \quad x^2 — 7x + 10 = (x — 2)(x — 5). \)

Тогда уравнение примет вид:

\[
\frac{x + 5}{(x — 2)(x — 4)} + \frac{1}{(x — 2)(x — 5)} = \frac{1}{x — 2}.
\]

Шаг 2: Умножаем обе части уравнения на \( (x — 2) \) (при условии, что \( x \neq 2 \)):

\[
\frac{x + 5}{(x — 4)} + \frac{1}{(x — 5)} = 1.
\]

Шаг 3: Приводим обе части уравнения к общему знаменателю:

\[
\frac{(x + 5)(x — 5) + (x — 4)}{(x — 4)(x — 5)} = 1.
\]

Шаг 4: Умножаем обе части на \( (x — 4)(x — 5) \), чтобы избавиться от знаменателя:

\[
(x + 5)(x — 5) + x — 4 = (x — 4)(x — 5).
\]

Шаг 5: Раскрываем скобки и упрощаем:

\[
x^2 — 25 + x — 4 = x^2 — 5x — 4x + 20.
\]

Шаг 6: Приводим подобные члены:

\[
x^2 — 25 + x — 4 = x^2 — 9x + 20.
\]

Шаг 7: Убираем \( x^2 \) с обеих сторон и решаем для \( x \):

\[
x — 25 — 4 = -9x + 20 \quad \Rightarrow \quad 10x = 49 \quad \Rightarrow \quad x = 4,9.
\]

Шаг 8: Область определения:

\[
x — 2 \neq 0, \quad x \neq 2; \quad x — 4 \neq 0, \quad x \neq 4; \quad x — 5 \neq 0, \quad x \neq 5;
\]

Ответ: \( 4,9 \).

б) \( \frac{2x — 3}{x^2 — x — 42} + \frac{3}{x^2 — 11x + 28} = \frac{2}{x — 7}; \)

Шаг 1: Приводим выражения в знаменателях к множителям:

\( x^2 — x — 42 = (x + 6)(x — 7), \quad x^2 — 11x + 28 = (x — 4)(x — 7). \)

Тогда уравнение примет вид:

\[
\frac{2x — 3}{(x + 6)(x — 7)} + \frac{3}{(x — 4)(x — 7)} = \frac{2}{x — 7}.
\]

Шаг 2: Умножаем обе части уравнения на \( (x — 7) \) (при условии, что \( x \neq 7 \)):

\[
\frac{2x — 3}{(x + 6)} + \frac{3}{(x — 4)} = 2.
\]

Шаг 3: Приводим обе части уравнения к общему знаменателю:

\[
\frac{(2x — 3)(x — 4) + 3(x + 6)}{(x + 6)(x — 4)} = 2.
\]

Шаг 4: Умножаем обе части на \( (x + 6)(x — 4) \), чтобы избавиться от знаменателя:

\[
(2x — 3)(x — 4) + 3(x + 6) = 2(x + 6)(x — 4).
\]

Шаг 5: Раскрываем скобки и упрощаем:

\[
2x^2 — 8x — 3x + 12 — 3x — 18 = 2(x^2 + 2x — 24).
\]

Шаг 6: Приводим подобные члены:

\[
2x^2 — 14x — 6 = 2x^2 + 4x — 48.
\]

Шаг 7: Убираем \( 2x^2 \) с обеих сторон и решаем для \( x \):

\[
-14x — 6 = 4x — 48 \quad \Rightarrow \quad 18x = 42 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}.
\]

Шаг 8: Область определения:

\[
x + 6 \neq 0, \quad x \neq -6; \quad x — 7 \neq 0, \quad x \neq 7; \quad x — 4 \neq 0, \quad x \neq 4;
\]

Ответ: \( 2\frac{1}{3} \).