ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 248 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) (x^2+1)/(x-2)-(x^2-1)/(x+1)=8; в) (2x+1)/(x^3+8)+2x/(x^2-2x+4)=3/(x+2);

б) (x^3-2)/(x-2)-x^2=2; г) (2p+7)/(8p^3+1)-2/(2p+1)-5p/(4p^2-2p+1)=0.

Решить уравнение:

а)
\[
\frac{x^2 + 1}{x — 2} — \frac{x^2 — 1}{x + 1} = 8;
\]

\[
(x^2 + 1)(x + 1) — (x^2 — 1)(x — 2) = 9(x — 2)(x + 1);
\]

\[
x^3 + x^2 + x + 1 — x^3 + 2x^2 + x — 2 = 8x^2 — 8x — 16;
\]

\[
5x^2 — 10x — 15 = 0;
\]

\[
x^2 — 2x — 3 = 0;
\]

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\]
Область определения:

\[
x — 2 \neq 0, \quad x \neq 2; \quad x + 1 \neq 0, \quad x \neq -1;
\]

Ответ: 3.

б)
\[
\frac{x^3 — 2}{x — 2} — x^2 = 2;
\]

\[
x^3 — 2 — x^2(x — 2) = 2(x — 2);
\]

\[
x^3 — 2 — x^3 + 2x^2 = 2x — 4;
\]

\[
2x^2 — 2x + 2 = 0;
\]

\[
x^2 — x + 1 = 0;
\]

\[
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = -11;
\]

\[
D < 0, \quad \text{значит } x \notin \mathbb{R};
\]

Ответ: корней нет.

в)
\[
\frac{2x + 1}{x^3 + 8} + \frac{2x}{x^2 — 2x + 4} = \frac{3}{x + 2};
\]

\[
2x + 1 + 2x(x + 2) = 3(x^2 — 2x + 4);
\]

\[
2x + 1 + 2x^2 + 4x = 3x^2 — 6x + 12;
\]

\[
x^2 — 12x + 11 = 0;
\]

\[
D = 12^2 — 4 \cdot 11 = 144 — 44 = 100, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{12 — 10}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{12 + 10}{2} = 11;
\]
Область определения:

\[
x + 2 \neq 0, \quad x \neq -2;
\]

Ответ: 1; 11.

г)
\[
\frac{2p + 7}{8p^3 + 1} — \frac{2}{2p + 1} — \frac{5p}{4p^2 — 2p + 1} = 0;
\]

\[
2p + 7 — 2(4p^2 — 2p + 1) — 5p(2p + 1) = 0;
\]

\[
2p + 7 — 8p^2 + 4p — 2 — 10p^2 — 5p = 0;
\]

\[
18p^2 — p — 5 = 0;
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 18 \cdot 5 = 1 + 360 = 361, \quad \text{тогда:}
\]

\[
p_1 = \frac{-1 — 19}{2 \cdot 18} = -\frac{10}{18} = -\frac{5}{9}, \quad p_2 = \frac{-1 + 19}{2 \cdot 18} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9};
\]
Область определения:
\[
2p + 1 \neq 0, \quad p \neq -\frac{1}{2};
\]

Ответ: \(\frac{5}{9}\).

Заданы несколько уравнений, давайте решим их:

а) \( \frac{x^2 + 1}{x — 2} — \frac{x^2 — 1}{x + 1} = 8; \)

Шаг 1: Приводим к общему знаменателю:

\[
(x^2 + 1)(x + 1) — (x^2 — 1)(x — 2) = 9(x — 2)(x + 1);
\]

Шаг 2: Упрощаем выражения:

\[
x^3 + x^2 + x + 1 — x^3 + 2x^2 + x — 2 = 8x^2 — 8x — 16;
\]

Шаг 3: Приводим подобные члены:

\[
5x^2 — 10x — 15 = 0;
\]

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение:

\[
x^2 — 2x — 3 = 0;
\]

Шаг 5: Рассчитываем дискриминант:

\[
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16;
\]

Шаг 6: Находим корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\]

Шаг 7: Область определения:

\( x — 2 \neq 0, \quad x \neq 2; \quad x + 1 \neq 0, \quad x \neq -1; \)

Ответ: 3.

б) \( \frac{x^3 — 2}{x — 2} — x^2 = 2; \)

Шаг 1: Умножаем обе части на \( x — 2 \):

\[
x^3 — 2 — x^2(x — 2) = 2(x — 2);
\]

Шаг 2: Упростим выражения:

\[
x^3 — 2 — x^3 + 2x^2 = 2x — 4;
\]

Шаг 3: Приводим подобные члены:

\[
2x^2 — 2x + 2 = 0;
\]

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение:

\[
x^2 — x + 1 = 0;
\]

Шаг 5: Рассчитываем дискриминант:

\[
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = -11;
\]

Шаг 6: Так как дискриминант меньше нуля, корней в вещественных числах нет.

Ответ: корней нет.

в) \( \frac{2x + 1}{x^3 + 8} + \frac{2x}{x^2 — 2x + 4} = \frac{3}{x + 2}; \)

Шаг 1: Приводим к общему знаменателю:

\[
2x + 1 + 2x(x + 2) = 3(x^2 — 2x + 4);
\]

Шаг 2: Упростим выражения:

\[
2x + 1 + 2x^2 + 4x = 3x^2 — 6x + 12;
\]

Шаг 3: Приводим подобные члены:

\[
x^2 — 12x + 11 = 0;
\]

Шаг 4: Рассчитываем дискриминант:

\[
D = 12^2 — 4 \cdot 11 = 144 — 44 = 100;
\]

Шаг 5: Находим корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{12 — 10}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{12 + 10}{2} = 11;
\]

Шаг 6: Область определения: \( x + 2 \neq 0, \quad x \neq -2; \)

Ответ: 1; 11.

г) \( \frac{2p + 7}{8p^3 + 1} — \frac{2}{2p + 1} — \frac{5p}{4p^2 — 2p + 1} = 0; \)

Шаг 1: Умножаем обе части на \( 8p^3 + 1 \) и приводим к общему знаменателю:

\[
2p + 7 — 2(4p^2 — 2p + 1) — 5p(2p + 1) = 0;
\]

Шаг 2: Упрощаем выражения:

\[
2p + 7 — 8p^2 + 4p — 2 — 10p^2 — 5p = 0;
\]

Шаг 3: Приводим подобные члены:

\[
18p^2 — p — 5 = 0;
\]

Шаг 4: Рассчитываем дискриминант:

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 18 \cdot 5 = 1 + 360 = 361;
\]

Шаг 5: Находим корни уравнения:

\[
p_1 = \frac{-1 — 19}{2 \cdot 18} = -\frac{10}{18} = -\frac{5}{9}, \quad p_2 = \frac{-1 + 19}{2 \cdot 18} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9};
\]

Шаг 6: Область определения: \( 2p + 1 \neq 0, \quad p \neq -\frac{1}{2}; \)

Ответ: \( \frac{5}{9} \).