ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 247 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Являются ли равносильными уравнения:

а) v(x^2+x-5)=v(x-1) и x^2+x-5=x-1;

б) v(x^2+x-5)=-1 и x^2+x-5=1?

Равносильны ли уравнения:

а)
\[
\sqrt{x^2 + x — 5} = \sqrt{x — 1}; \quad x^2 + x — 5 = x — 1;
\]
Из первого уравнения:
\[
x^2 + x — 5 = x — 1;
\]

\[
x^2 — 4 = 0, \quad x = \pm 2;
\]
Область определения:
\[
x — 1 \geq 0, \quad x \geq 1;
\]

Ответ: нет.

б)
\[
\sqrt{x^2 + x — 5} = -1; \quad x^2 + x — 5 = 1;
\]
Из второго уравнения:
\[
x^2 + x — 5 = 1;
\]

\[
x^2 + x — 6 = 0;
\]

\[
D = 1 + 24 = 25, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2;
\]

Ответ нет.

Заданы два уравнения, давайте проверим, равносильны ли они:

а) \( \sqrt{x^2 + x — 5} = \sqrt{x — 1}; \quad x^2 + x — 5 = x — 1; \)

Из первого уравнения:

Извлекаем квадрат из обеих сторон: \( x^2 + x — 5 = x — 1; \);

Переносим все термины в одну сторону: \( x^2 + x — 5 — x + 1 = 0; \);

Упростим: \( x^2 — 4 = 0 \);

Решаем это уравнение: \( x^2 = 4 \), отсюда \( x = \pm 2 \);

Проверим область определения: для \( \sqrt{x^2 + x — 5} \) должно выполняться условие \( x^2 + x — 5 \geq 0 \), а для \( \sqrt{x — 1} \) — \( x — 1 \geq 0 \), то есть \( x \geq 1 \);

Проверим, удовлетворяют ли корни области определения. Для \( x = -2 \) не выполняется условие \( x \geq 1 \), поэтому это решение исключается.

Ответ: нет.

б) \( \sqrt{x^2 + x — 5} = -1; \quad x^2 + x — 5 = 1; \)

Из второго уравнения:

Извлекаем квадрат из обеих сторон: \( x^2 + x — 5 = 1 \);

Переносим все термины в одну сторону: \( x^2 + x — 6 = 0 \);

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \);

Таким образом, корни будут: \( x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3 \), \( x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \);

Проверим область определения: для \( \sqrt{x^2 + x — 5} \) выражение \( x^2 + x — 5 \) должно быть неотрицательным, но \( \sqrt{x^2 + x — 5} \) не может быть равно \( -1 \), так как квадратный корень всегда неотрицателен.

Ответ: нет.