ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 242 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение x^6=(6x-8)^3.

Решить уравнение:
\[
x^6 = (6x — 8)^3;
\]

\[
x^2 = 6x — 8;
\]

\[
x^2 — 6x + 8 = 0;
\]

\[
D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4, \text{ тогда: }
\]

\[
x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4;
\]

Область определения:
\[
6x — 8 \geq 0, \quad x \geq \frac{8}{6} = \frac{4}{3};
\]

Ответ: 2; 4.

Решим уравнение:

\( x^6 = (6x — 8)^3; \)

Для упрощения, возьмем квадрат из обеих сторон уравнения:

\( x^2 = 6x — 8; \)

Перепишем это уравнение как квадратное:

\( x^2 — 6x + 8 = 0; \)

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант \( D \) рассчитывается по формуле:

\[
D = b^2 — 4ac = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4.
\]

Так как дискриминант положительный, то у нас два действительных корня:

\[
x_1 = \frac{-(-6) — \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 — 2}{2} = 2;
\]

\[
x_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = 4;
\]

Теперь рассмотрим область определения. Мы знаем, что выражение \(6x — 8\) должно быть неотрицательным, так как оно возводится в куб:

\[
6x — 8 \geq 0, \quad x \geq \frac{8}{6} = \frac{4}{3}.
\]

Таким образом, решения \(x = 2\) и \(x = 4\) удовлетворяют этому ограничению.

Ответ: \( 2; 4. \)