ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 241 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Составьте уравнение, корни которого равны кубам корней уравнения x^3+px+q=0.

Задано уравнение:
\[
x^3 + px + q = 0;
\]

1) Согласно теореме Виета:
\[
x_1 + x_2 + x_3 = 0, \quad x_1x_2x_3 = -q, \quad x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = p;
\]

2) Найдём кубы корней:
\[
(x_1 + x_2 + x_3)^3 = x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 + 3(x_1^2x_2 +\]

\[x_1^2x_3 + x_1x_2^2 + x_1x_3^2 + x_2^2x_3 + x_2x_3^2) + 6x_1x_2x_3 =
\]

\[
= x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 + 3x_1^2(x_2 + x_3) + 3x_2^2(x_1 + x_3) + 3x_3^2(x_1 + x_2) — 6q =
\]

\[
= x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 — 3x_1x_2 — 3x_1x_3 — 3x_2x_3 — 6q = 0;
\]

\[
-2(x_1^3 + x_2^3 + x_3^3) — 6q = 0, \quad x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = -3q;
\]

\[
(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)^3 = x_1^2x_2^2 + x_1^2x_3^2 + x_2^2x_3^2 + 3x_1x_2x_3 \cdot
\]

\[
\cdot (x_1(x_2 + x_3) + x_2(x_1 + x_3) + x_3(x_1 + x_2)) + 6x_1^2x_2^2x_3^2 =
\]

\[
= x_1^2x_2^2 + x_1^2x_3^2 + x_2^2x_3^2 — 3q(-x_1^2 — x_2^2 — x_3^2) + 6q^2 =
\]

\[
= x_1^2x_2^2 + x_1^2x_3^2 + x_2^2x_3^2 — 9q^2 + 6q^2 = p^3;
\]

\[
c = x_1^2x_2 + x_1^2x_3 + x_2^2x_3 = p^3 + 3q^2;
\]

\[
b = (x_1 + x_2 + x_3) = 3q;
\]

\[
d = x_1x_2x_3 = q^3;
\]

Ответ:
\[
x^3 + 3qx^2 + (p^3 + 3q^2)x + q^3 = 0.
\]

Задано уравнение:

\( x^3 + px + q = 0; \)

1) Согласно теореме Виета для уравнения третьей степени, сумма корней, их произведение и сумма произведений пар корней могут быть выражены как:

• \( x_1 + x_2 + x_3 = 0 \),
• \( x_1x_2x_3 = -q \),
• \( x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = p \).

2) Найдём кубы корней, используя выражение для суммы кубов:

\( (x_1 + x_2 + x_3)^3 = x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 + 3(x_1^2x_2 + x_1^2x_3 + x_1x_2^2 + x_1x_3^2 + x_2^2x_3 + x_2x_3^2) + 6x_1x_2x_3; \)

Так как \( x_1 + x_2 + x_3 = 0 \), то это выражение упрощается до:

\( 0 = x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 + 3x_1^2(x_2 + x_3) + 3x_2^2(x_1 + x_3) + 3x_3^2(x_1 + x_2) — 6q; \)

Используем то, что \( x_1 + x_2 + x_3 = 0 \), и получаем:

\( x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 — 3x_1x_2 — 3x_1x_3 — 3x_2x_3 — 6q = 0; \)

Далее, решим это для суммы кубов:

\( -2(x_1^3 + x_2^3 + x_3^3) — 6q = 0, \quad x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = -3q; \)

Теперь рассмотрим произведение корней:

\( (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)^3 = x_1^2x_2^2 + x_1^2x_3^2 + x_2^2x_3^2 + 3x_1x_2x_3 \cdot (x_1(x_2 + x_3) + x_2(x_1 + x_3) + x_3(x_1 + x_2)) + 6x_1^2x_2^2x_3^2; \)

После подстановки значений и упрощения получаем:

\( x_1^2x_2^2 + x_1^2x_3^2 + x_2^2x_3^2 — 3q(-x_1^2 — x_2^2 — x_3^2) + 6q^2 = p^3; \)

И далее, вычисляем:

\( x_1^2x_2^2 + x_1^2x_3^2 + x_2^2x_3^2 — 9q^2 + 6q^2 = p^3; \)

Теперь, получаем выражение для \(c\):

\( c = x_1^2x_2 + x_1^2x_3 + x_2^2x_3 = p^3 + 3q^2; \)

Для \(b\) имеем:

\( b = (x_1 + x_2 + x_3) = 3q; \)

Для \(d\) получаем:

\( d = x_1x_2x_3 = q^3; \)

3) Составим уравнение с полученными значениями:

\( x^3 + 3qx^2 + (p^3 + 3q^2)x + q^3 = 0; \)

Ответ: \( x^3 + 3qx^2 + (p^3 + 3q^2)x + q^3 = 0. \)