ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 240 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если все корни уравнения x^3+px+q=0 — действительные числа и хотя бы один из них отличен от нуля, то p < 0.

В данном уравнении:
\[
x^3 + px + q = 0; \quad x_1 + x_2 + x_3 \neq 0; \quad x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{R};
\]

1) Если \( p = 0 \), тогда:
\[
x^3 + 0x + q = 0;
\]

\[
x^3 = -q, \quad x = -\sqrt[3]{q};
\]

\[
x_2, x_3 \notin \mathbb{R};
\]

2) Если \( p > 0 \), тогда:
\[
x^3 + px + q = 0;
\]

\[
x^3 = -px — q;
\]

\[
y = x^3 \text{ — возрастает;}
\]

\[
y = -px — q \text{ — убывает;}
\]

\[
x_2, x_3 \notin \mathbb{R};
\]

Что и требовалось доказать.

Задано кубическое уравнение:

\( x^3 + px + q = 0; \quad x_1 + x_2 + x_3 \neq 0; \quad x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{R}; \)

Наша задача — рассмотреть два случая для различных значений параметра \( p \). Мы будем использовать методы анализа функции для нахождения корней уравнения.

1) Рассмотрим случай, когда \( p = 0 \):

Если \( p = 0 \), то уравнение принимает вид:

\[
x^3 + 0x + q = 0.
\]

Упростим его до:

\[
x^3 = -q.
\]

Теперь, чтобы найти корень этого уравнения, извлечем кубический корень из обеих частей:

\[
x = -\sqrt[3]{q}.
\]

Мы видим, что это уравнение имеет один действительный корень, который равен \( -\sqrt[3]{q} \). Однако, поскольку у нас всего один действительный корень, другие два корня \( x_2 \) и \( x_3 \) не могут быть действительными числами, так как для кубического уравнения существует ровно три корня, и два из них будут комплексными, если \( p = 0 \).

Таким образом, мы делаем вывод, что:

\( x_2, x_3 \notin \mathbb{R}; \)

2) Рассмотрим случай, когда \( p > 0 \):

Теперь, если \( p > 0 \), то уравнение принимает вид:

\[
x^3 + px + q = 0.
\]

Решим это уравнение для \(x^3\):

\[
x^3 = -px — q.
\]

Для более глубокого анализа, рассмотрим две функции:

Первая функция: \( y = x^3 \), это кубическая функция, которая возрастает, так как производная этой функции \( y’ = 3x^2 \) всегда положительна для всех значений \( x \in \mathbb{R} \). Это означает, что график функции \( y = x^3 \) будет всегда увеличиваться, и она не будет иметь экстремумов (точек перегиба).

Вторая функция: \( y = -px — q \), это линейная функция с отрицательным наклоном, так как производная этой функции \( y’ = -p \), и она всегда отрицательна для \( p > 0 \). Таким образом, график этой функции будет убывать и также не будет иметь экстремумов.

Теперь, чтобы понять, есть ли у этих двух функций общие корни, рассмотрим их графики:

Функция \( y = x^3 \) возрастает на всем своём промежутке, и ее график будет идти вверх. Функция \( y = -px — q \), наоборот, убывает, и её график будет идти вниз. Таким образом, графики этих двух функций будут иметь не более одной точки пересечения, и при этом в данной ситуации, с учетом того, что они монотонны, корни \( x_2 \) и \( x_3 \) не могут быть действительными, так как не пересекают график функции \( y = x^3 \) в других точках.

Итак, для этого случая мы также можем утверждать, что:

\( x_2, x_3 \notin \mathbb{R}; \)

Что и требовалось доказать.