ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 238 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Составьте кубическое уравнение, корни которого обратны квадратам корней уравнения x^3-3x^2-10x+24=0.

Задано уравнение:
\[ x^3 — 3x^2 — 10x + 24 = 0 \]

1) Согласно теореме Виета:
\[ x_1 + x_2 + x_3 = 3, \quad x_1x_2x_3 = -24, \quad x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = -10 \]

2) Найдём обратные корни:
\[
(x_1 + x_2 + x_3)^2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2(x_1x_2 + x_2x_3 + x_1x_3);
\]

\[
x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2 \cdot (-10) = 9, \quad x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 29;
\]

\[
(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)^2 = x_1^2x_2^2 + x_1^2x_3^2 +\]

\[x_2^2x_3^2 + 2x_1x_2x_3(x_1 + x_2 + x_3);
\]

\[
x_1^2x_2^2 + x_1^2x_3^2 + x_2^2x_3^2 + 2 \cdot (-24) \cdot 3 =\]

\[100, \quad x_1^2x_2^2 + x_1^2x_3^2 + x_2^2x_3^2 = 244;
\]

\[
b = -\left( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} \right) =\]

\[-\frac{x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3}{x_1x_2x_3} = -\frac{-244}{576} = -\frac{244}{576};
\]

\[
c = \frac{1}{x_1x_2} + \frac{1}{x_1x_3} + \frac{1}{x_2x_3} =\]

\[\frac{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}{x_1^2x_2^2x_3^2} = \frac{29}{576};
\]

\[
d = -\frac{1}{x_1x_2x_3} = -\frac{1}{-576} = \frac{1}{576}.
\]

3) Составим уравнение:
\[
x^3 — \frac{244}{576}x^2 + \frac{29}{576}x — \frac{1}{576} = 0;
\]

\[
576x^3 — 244x^2 + 29x — 1 = 0.
\]

Ответ:

\[ 576x^3 — 244x^2 + 29x — 1 = 0. \]

Задано уравнение:

\( x^3 — 3x^2 — 10x + 24 = 0 \)

1) Согласно теореме Виета, для уравнения третьей степени с коэффициентами \( a = 1 \), \( b = -3 \), \( c = -10 \), и \( d = 24 \), мы можем записать следующие выражения для корней \(x_1\), \(x_2\), и \(x_3\):

\[
x_1 + x_2 + x_3 = 3, \quad x_1x_2x_3 = -24, \quad x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = -10;
\]

2) Найдём обратные корни:

Для нахождения суммы квадратов корней, используем следующее равенство:

\[
(x_1 + x_2 + x_3)^2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2(x_1x_2 + x_2x_3 + x_1x_3);
\]

Подставим известные значения:

\[
x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2 \cdot (-10) = 9, \quad x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 29;
\]

Далее, для нахождения суммы квадратов произведений корней, используем следующее равенство:

\[
(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)^2 = x_1^2x_2^2 + x_1^2x_3^2 +\]

\[x_2^2x_3^2 + 2x_1x_2x_3(x_1 + x_2 + x_3);
\]

Подставляем значения:

\[
x_1^2x_2^2 + x_1^2x_3^2 + x_2^2x_3^2 + 2 \cdot (-24) \cdot 3 = 100, \quad x_1^2x_2^2 + x_1^2x_3^2 + x_2^2x_3^2 = 244;
\]

Теперь находим обратные корни:

Для \(b\):

\[
b = -\left( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} \right) =\]

\[ -\frac{x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3}{x_1x_2x_3} = -\frac{-244}{576} = -\frac{244}{576};
\]

Для \(c\):

\[
c = \frac{1}{x_1x_2} + \frac{1}{x_1x_3} + \frac{1}{x_2x_3} = \frac{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}{x_1^2x_2^2x_3^2} = \frac{29}{576};
\]

Для \(d\):

\[
d = -\frac{1}{x_1x_2x_3} = -\frac{1}{-576} = \frac{1}{576}.
\]

3) Составим уравнение для обратных корней:

\[
x^3 — \frac{244}{576}x^2 + \frac{29}{576}x — \frac{1}{576} = 0;
\]

Умножим обе части уравнения на 576, чтобы избавиться от дробей:

\[
576x^3 — 244x^2 + 29x — 1 = 0.
\]

Ответ: \( 576x^3 — 244x^2 + 29x — 1 = 0. \)