ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 236 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Выразите через симметрические многочлены ?_1, ?_1, _3 сумму кубов корней кубического уравнения.

Задано выражение:

\[
x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = (x_1 + x_2 + x_3)^3 — 3x_1^2x_2 — 3x_1^2x_3 -\]

\[3x_1x_2^2 — 3x_1x_3^2 — 3x_2^2x_3 — 3x_2x_3^2 — 6x_1x_2x_3;
\]

\[
= \sigma_1^3 — 3(x_1^2x_2 + x_1x_2x_3 + x_2^2x_3 + x_1x_2^2 +\]

\[x_2x_3^2 + x_1x_3^2 + x_1x_2x_3) + 3x_1x_2x_3;
\]

\[
= \sigma_1^3 — 3(x_1(x_1x_2 + x_2x_3 + x_1x_3) + x_2(x_1x_2 +\]

\[x_2x_3 + x_1x_3) + x_3(x_1x_2 + x_2x_3 + x_1x_3)) + 3x_1x_2x_3;
\]

\[
= \sigma_1^3 — 3(x_1 + x_2 + x_3)(x_1x_2 + x_2x_3 + x_1x_3) + 3\sigma_3;
\]

\[
= \sigma_1^3 — 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3.
\]

Ответ: \( \sigma_1^3 — 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3 \).

Задано выражение для суммы кубов трех чисел \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\):

\[
x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = (x_1 + x_2 + x_3)^3 — 3x_1^2x_2 — 3x_1^2x_3 -\]

\[3x_1x_2^2 — 3x_1x_3^2 — 3x_2^2x_3 — 3x_2x_3^2 — 6x_1x_2x_3;
\]

Чтобы доказать это, раскроем куб суммы \( (x_1 + x_2 + x_3)^3 \). Для начала воспользуемся формулой для куба суммы трех чисел:

\[
(x_1 + x_2 + x_3)^3 = x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 + 3x_1^2x_2 +\]

\[3x_1^2x_3 + 3x_2^2x_1 + 3x_2^2x_3 + 3x_3^2x_1 + 3x_3^2x_2 + 6x_1x_2x_3;
\]

Теперь, из этого выражения мы можем вычесть термины, которые присутствуют в правой части заданного уравнения. Таким образом, получаем:

\[
x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = (x_1 + x_2 + x_3)^3 — 3(x_1^2x_2 +\]

\[x_1^2x_3 + x_1x_2^2 + x_1x_3^2 + x_2^2x_3 + x_2x_3^2) — 6x_1x_2x_3.
\]

Теперь у нас есть выражение, в котором каждое произведение \(x_1^2x_2\), \(x_1x_2^2\) и так далее представляется как сумма произведений переменных. Мы можем привести это выражение к более компактному виду:

\[
= \sigma_1^3 — 3(x_1(x_1x_2 + x_2x_3 + x_1x_3) + x_2(x_1x_2 +\]

\[x_2x_3 + x_1x_3) + x_3(x_1x_2 + x_2x_3 + x_1x_3)) + 3x_1x_2x_3;
\]

В этом шаге мы сгруппировали произведения переменных в форме суммы, что позволяет сделать дальнейшие вычисления более удобными. Мы видим, что все члены, которые остаются внутри скобок, зависят от сумм всех переменных \(x_1\), \(x_2\) и \(x_3\).

Теперь мы можем записать их с использованием обозначений:

\[
x_1 + x_2 + x_3 = \sigma_1, \quad x_1x_2 + x_2x_3 +\]

\[x_1x_3 = \sigma_2, \quad x_1x_2x_3 = \sigma_3.
\]

Теперь подставим эти обозначения в выражение:

\[
= \sigma_1^3 — 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3.
\]

Таким образом, мы получили требуемое равенство, что и требовалось доказать.

Ответ: \( \sigma_1^3 — 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3 \).