ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 235 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что для квадратного уравнения, имеющего корни x_1 и x_2, справедливо равенство x_1^4+x_2^4=?_1^4-4?_1^2?_2+2?_2^2.

В квадратном уравнении:
\[\sigma_1 = x_1 + x_2, \quad \sigma_2 = x_1x_2;\]

Докажем равенство:
\[
x_1^4 + x_2^4 = (x_1 + x_2)^4 — 4x_1^3x_2 — 6x_1^2x_2^2 — 4x_1x_2^3 =
\]

\[
= \sigma_1^4 — 4x_1x_2(x_1^2 + x_2^2) — 6\sigma_2^2 =
\]

\[
= \sigma_1^4 — 4\sigma_2((x_1 + x_2)^2 — 2x_1x_2) — 6\sigma_2^2 =
\]

\[
= \sigma_1^4 — 4\sigma_2(\sigma_1^2 — 2\sigma_2) — 6\sigma_2^2 =
\]

\[
= \sigma_1^4 — 4\sigma_1^2\sigma_2 + 8\sigma_2^2 — 6\sigma_2^2 =
\]

\[
= \sigma_1^4 — 4\sigma_1^2\sigma_2 + 2\sigma_2^2.
\]

Что и требовалось доказать.

В квадратном уравнении:

\( \sigma_1 = x_1 + x_2, \quad \sigma_2 = x_1x_2; \)

Наша цель — доказать следующее равенство:

\[
x_1^4 + x_2^4 = (x_1 + x_2)^4 — 4x_1^3x_2 — 6x_1^2x_2^2 — 4x_1x_2^3;
\]

Рассмотрим правую часть этого выражения. Начнём с раскрытия первой скобки:

\[
(x_1 + x_2)^4 = \sigma_1^4,
\]

так как \( \sigma_1 = x_1 + x_2 \). Таким образом, первое выражение упрощается до:

\[
x_1^4 + x_2^4 = \sigma_1^4 — 4x_1x_2(x_1^2 + x_2^2) — 6x_1^2x_2^2.
\]

Теперь, нам нужно выразить \( x_1^2 + x_2^2 \) через \( \sigma_1 \) и \( \sigma_2 \). Для этого воспользуемся следующей формулой:

\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 2x_1x_2 = \sigma_1^2 — 2\sigma_2.
\]

Подставим это значение в исходное уравнение:

\[
x_1^4 + x_2^4 = \sigma_1^4 — 4\sigma_2(\sigma_1^2 — 2\sigma_2) — 6\sigma_2^2.
\]

Теперь раскроем скобки в выражении \( -4\sigma_2(\sigma_1^2 — 2\sigma_2) \):

\[
x_1^4 + x_2^4 = \sigma_1^4 — 4\sigma_2\sigma_1^2 + 8\sigma_2^2 — 6\sigma_2^2.
\]

Упростим это выражение, объединив подобные члены:

\[
x_1^4 + x_2^4 = \sigma_1^4 — 4\sigma_1^2\sigma_2 + 2\sigma_2^2.
\]

Что и требовалось доказать.