ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 231 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Изобразите схематически график функции и укажите область значений этой функции:

а) y=x^2-6x+8; в) y=x^2-6|x|+8;

б) y=|x^2-6x+8|; г) y=|x^2-6|x|+8|.

a)
Изобразить график функции:
\[y = x^2 — 6x + 8;\]

\[
x_0 = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3;
\]

\[
y_0 = 9 — 18 + 8 = -1.
\]

График функции:

б)
\[y = |x^2 — 6x + 8|;\]

\[
x_0 = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3;
\]

\[
y_0 = 9 — 18 + 8 = -1.
\]

График функции:

в)
\[y = x^2 — 6|x| + 8;\]

\[
x_0 = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3;
\]

\[
y_0 = 9 — 18 + 8 = -1.
\]

График функции:

г)
\[y = |x^2 — 6|x| + 8|;\]

\[
x_0 = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3;
\]

\[
y_0 = 9 — 18 + 8 = -1.
\]

График функции:

1) Решим уравнение \( y = x^2 — 6x + 8; \)

Для нахождения координат вершины параболы, которая является графиком квадратичной функции, мы используем формулу для абсциссы вершины \(x_0\) квадратичной функции вида \(y = ax^2 + bx + c\):

Формула для нахождения абсциссы вершины:

\[
x_0 = \frac{-b}{2a}.
\]

В данном случае \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 8\), подставим эти значения в формулу для нахождения абсциссы вершины:

\[
x_0 = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3;
\]

Теперь подставим значение \(x_0 = 3\) в исходное уравнение, чтобы найти ординату вершины \(y_0\):

\[
y_0 = (3)^2 — 6(3) + 8 = 9 — 18 + 8 = -1;
\]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (3, -1) \), а сама парабола открывается вверх, так как коэффициент при \(x^2\) положительный.

График функции будет иметь форму параболы, направленной вверх, с вершиной в точке \( (3, -1) \). Для \(x < 3\) функция принимает положительные значения, а для \(x > 3\) — отрицательные, отражая стандартную форму параболы.

2) Решим уравнение \( y = |x^2 — 6x + 8|; \)

Для функции с абсолютным значением, все отрицательные значения функции \( y = x^2 — 6x + 8 \) будут отражены над осью \(x\). Это происходит потому, что абсолютное значение всегда делает результат неотрицательным.

График этой функции будет такой же, как для функции \( y = x^2 — 6x + 8 \), но все отрицательные участки графика будут перевёрнуты и располагаться выше оси \(x\), тем самым устраняя любые отрицательные значения функции.

График будет симметричен относительно оси \(x\), и мы увидим два «плеча», отражённые выше оси \(x\), где значения \(y\) были отрицательными для функции \( y = x^2 — 6x + 8 \). Вертикальная линия, проходящая через точку минимума, не будет пересекать ось \(x\), так как функция теперь принимает только положительные значения.

Вершина параболы для \( y = |x^2 — 6x + 8| \) будет в точке \( (3, 0) \), так как минимальное значение функции \( y = x^2 — 6x + 8 \) было в точке \( (3, -1) \), но теперь оно отразится и станет \( 0 \). График будет симметричным и «V»-образным.

3) Решим уравнение \( y = x^2 — 6|x| + 8; \)

Для этой функции абсолютное значение применяется только к \(x\), что означает, что для положительных значений \(x\) график функции будет следовать форме параболы \( y = x^2 — 6x + 8 \), а для отрицательных значений \(x\) — форму параболы \( y = x^2 + 6x + 8 \). Это приводит к разным углам наклона параболы в зависимости от знака \(x\).

Для \( x \geq 0 \) график будет иметь форму \( y = x^2 — 6x + 8 \), а для \( x < 0 \) — форму \( y = x^2 + 6x + 8 \). Таким образом, график функции будет похож на две параболы, направленные вверх, но с разными коэффициентами для \(x\).

График функции будет представлять собой две симметричные части, направленные вверх, но с различной степенью наклона в зависимости от того, является ли \(x\) положительным или отрицательным.

Таким образом, график будет похож на «две параболы», одна из которых будет для положительных значений \(x\), а другая — для отрицательных, отражённая относительно оси \(y\).

4) Решим уравнение \( y = |x^2 — 6|x| + 8|; \)

Здесь мы имеем абсолютное значение как внутри выражения \( x^2 — 6|x| + 8 \), так и на всей функции. Это означает, что сначала все значения внутри функции будут отражены в случае, если они отрицательны, а затем весь результат будет также отражён, если значение функции отрицательно.

График функции будет иметь два уровня отражений: первое — это отражение внутри выражения \( x^2 — 6|x| + 8 \), а второе — это отражение функции на всей её длине, что приведёт к двойному отражению, делая график ещё более «V»-образным и симметричным относительно оси \(x\).

График будет представлять собой два симметричных отрезка, отражённых в сторону положительных значений функции, с минимальными точками, находящимися в областях, где изначально значение функции было отрицательным, и теперь оно отразилось.