ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 228 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение, разложив его левую часть на множители методом неопределённых коэффициентов:

а) 2x^4-4x^3+x^2-6x-3=0;

б) 3x^4+3x^3-8x^2+x-3=0;

в) 2x^4+7x^3+x^2-8x+2=0;

г) 2x^4+5x^3-5x^2-13x-4=0.

a)
Решить уравнение:
\[2x^4 — 4x^3 + x^2 — 6x — 3 = 0;\]

\[
2x^4 — 4x^3 + x^2 — 6x — 3 = (2x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = 0;
\]

\[
2x^4 + (a + 2c)x^3 + (ac + b + 2d)x^2 + (ad + bc)x + bd = 0;
\]

\[b = 3,\ d = -1,\ a = 0,\ c = -2;\]

\((2x^2 + 3)(x^2 — 2x — 1) = 0;\)

\[D = 2^2 + 4 + 1 = 4 + 4 = 8,\] тогда:

\[
x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}.
\]

Ответ: \(1 \pm \sqrt{2}.\)

б)
Решить уравнение:
\[3x^4 + 3x^3 — 8x^2 + x — 3 = 0;\]

\[
3x^4 + 3x^3 — 8x^2 + x — 3 = (3x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = 0;
\]

\[
3x^4 + (a + 3c)x^3 + (ac + b + 3d)x^2 + (ad + bc)x + bd = 0;
\]

\[b = 1,\ d = -3,\ a = 0,\ c = 1;\]

\((3x^2 + 1)(x^2 + x — 3) = 0;\)

\[D = 1^2 + 4 \cdot 3 = 1 + 12 = 13,\] тогда:

\[
x_1 = \frac{-1 — \sqrt{13}}{2},\ x_2 = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}.
\]

Ответ: \(\frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}.\)

в)
Решить уравнение:
\[2x^4 + 7x^3 + x^2 — 8x + 2 = 0;\]

\[
2x^4 + 7x^3 + x^2 — 8x + 2 = (2x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = 0;
\]

\[
2x^4 + (a + 2c)x^3 + (ac + b + 2d)x^2 + (ad + bc)x + bd = 0;
\]

\[b = -1,\ d = -2,\ a = 3,\ c = 2;\]

\((2x^2 + 3x — 1)(x^2 + 2x — 2) = 0;\)

Первое уравнение:
\[2x^2 + 3x — 1 = 0;\]

\[D = 3^2 + 4 \cdot 2 = 9 + 8 = 17,\] тогда:

\[
x_1 = \frac{-3 — \sqrt{17}}{4},\ x_2 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{4}.
\]

Второе уравнение:
\[x^2 + 2x — 2 = 0;\]

\[D = 2^2 + 4 \cdot 2 = 4 + 8 = 12,\] тогда:

\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}.
\]

Ответ: \(\frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4},\ -1 \pm \sqrt{3}.\)

г)
Решить уравнение:
\[2x^4 + 5x^3 — 5x^2 — 13x — 4 = 0;\]

\[
2x^4 + 5x^3 — 5x^2 — 13x — 4 = (2x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = 0;
\]

\[
2x^4 + (a + 2c)x^3 + (ac + b + 2d)x^2 + (ad + bc)x + bd = 0;
\]

\[b = -4,\ d = 1,\ a = -1,\ c = 3;\]

\((2x^2 — x — 4)(x^2 + 3x + 1) = 0;\)

Первое уравнение:
\[2x^2 — x — 4 = 0;\]

\[D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 4 = 33,\] тогда:

\[
x_1 = \frac{1 — \sqrt{33}}{4},\ x_2 = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}.
\]

Второе уравнение:
\[x^2 + 3x + 1 = 0;\]

\[D = 3^2 — 4 \cdot 1 = 9 — 4 = 5,\] тогда:

\[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}.
\]

Ответ: \(\frac{1 \pm \sqrt{33}}{4},\ \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}.\)

а) Решим уравнение \( 2x^4 — 4x^3 + x^2 — 6x — 3 = 0; \)

Предположим, что уравнение можно представить в виде произведения двух квадратных множителей:

\( 2x^4 — 4x^3 + x^2 — 6x — 3 = (2x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = 0; \)

Раскроем скобки:

\( 2x^4 + (a + 2c)x^3 + (ac + b + 2d)x^2 + (ad + bc)x + bd = 0; \)

Сравниваем коэффициенты и получаем систему уравнений:

\( b = 3, \quad d = -1, \quad a = 0, \quad c = -2; \)

Подставим найденные значения:

\( (2x^2 + 3)(x^2 — 2x — 1) = 0; \)

Решим квадратные уравнения для каждого множителя:

Первое уравнение: \( 2x^2 + 3 = 0; \)

Дискриминант: \( D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \)

Корни: \( x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{4} = \frac{-2 \pm 4}{4} = 1 \pm \sqrt{2}; \)

Ответ: \( 1 \pm \sqrt{2}. \)

б) Решим уравнение \( 3x^4 + 3x^3 — 8x^2 + x — 3 = 0; \)

Предположим, что уравнение можно представить в виде произведения двух квадратных множителей:

\( 3x^4 + 3x^3 — 8x^2 + x — 3 = (3x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = 0; \)

Раскроем скобки:

\( 3x^4 + (a + 3c)x^3 + (ac + b + 3d)x^2 + (ad + bc)x + bd = 0; \)

Сравниваем коэффициенты и получаем систему уравнений:

\( b = 1, \quad d = -3, \quad a = 0, \quad c = 1; \)

Подставим найденные значения:

\( (3x^2 + 1)(x^2 + x — 3) = 0; \)

Решим квадратные уравнения для каждого множителя:

Первое уравнение: \( 3x^2 + 1 = 0; \)

Дискриминант: \( D = 1^2 — 4 \cdot 3 \cdot 1 = 25 — 16 = 9, \)

Корни: \( x = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}. \)

Ответ: \( \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}. \)

в) Решим уравнение \( 2x^4 + 7x^3 + x^2 — 8x + 2 = 0; \)

Предположим, что уравнение можно представить в виде произведения двух квадратных множителей:

\( 2x^4 + 7x^3 + x^2 — 8x + 2 = (2x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = 0; \)

Раскроем скобки:

\( 2x^4 + (a + 2c)x^3 + (ac + b + 2d)x^2 + (ad + bc)x + bd = 0; \)

Сравниваем коэффициенты и получаем систему уравнений:

\( b = -1, \quad d = -2, \quad a = 3, \quad c = 2; \)

Подставим найденные значения:

\( (2x^2 + 3x — 1)(x^2 + 2x — 2) = 0; \)

Решим квадратные уравнения для каждого множителя:

Первое уравнение: \( 2x^2 + 3x — 1 = 0; \)

Дискриминант: \( D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 + 8 = 17, \)

Корни: \( x_1 = \frac{-3 — \sqrt{17}}{4}, \ x_2 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{4}. \)

Второе уравнение: \( x^2 + 2x — 2 = 0; \)

Дискриминант: \( D = 2^2 + 4 \cdot 2 = 4 + 8 = 12, \)

Корни: \( x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}. \)

Ответ: \( \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}, \ -1 \pm \sqrt{3}. \)

г) Решим уравнение \( 2x^4 + 5x^3 — 5x^2 — 13x — 4 = 0; \)

Предположим, что уравнение можно представить в виде произведения двух квадратных множителей:

\( 2x^4 + 5x^3 — 5x^2 — 13x — 4 = (2x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = 0; \)

Раскроем скобки:

\( 2x^4 + (a + 2c)x^3 + (ac + b + 2d)x^2 + (ad + bc)x + bd = 0; \)

Сравниваем коэффициенты и получаем систему уравнений:

\( b = -4, \quad d = 1, \quad a = -1, \quad c = 3; \)

Подставим найденные значения:

\( (2x^2 — x — 4)(x^2 + 3x + 1) = 0; \)

Решим квадратные уравнения для каждого множителя:

Первое уравнение: \( 2x^2 — x — 4 = 0; \)

Дискриминант: \( D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 4 = 33, \)

Корни: \( x_1 = \frac{1 — \sqrt{33}}{4}, \ x_2 = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}. \)

Второе уравнение: \( x^2 + 3x + 1 = 0; \)

Дискриминант: \( D = 3^2 — 4 \cdot 1 = 9 — 4 = 5, \)

Корни: \( x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}. \)

Ответ: \( \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}, \ \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}. \)