ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 226 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Зная, что один из корней уравнения 4x^4-12x^3+13x^2-12x+a=0 равен 2, найдите а и другие корни уравнения.

Задано уравнение:
\[4x^4 — 12x^3 + 13x^2 — 12x + a = 0;\]

\[P(2) = 64 — 96 + 52 — 24 + a = 0;\]

\[a — 4 = 0,\ a = 4.\]

1) Другие корни уравнения:
\[4x^4 — 12x^3 + 13x^2 — 12x + 4 = 0;\]

\[4x^2 — 12x + 13 — \frac{12}{x} + \frac{4}{x^2} = 0;\]

\[4\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) — 12\left(x + \frac{1}{x}\right) + 13 = 0;\]

\[4\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 — 12\left(x + \frac{1}{x}\right) + 5 = 0.\]

2) Пусть \[y = x + \frac{1}{x},\] тогда:
\[4y^2 — 12y + 5 = 0;\]

\[D = 12^2 — 4 \cdot 4 \cdot 5 = 144 — 80 = 64,\] тогда:

\[y_1 = \frac{12 — 8}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2},\ y_2 = \frac{12 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}.\]

3) Первое значение:
\[x + \frac{1}{x} = \frac{1}{2};\]

\[2x^2 — x + 2 = 0;\]

\[D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 < 0.\]

4) Второе значение:
\[x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2};\]

\[2x^2 — 5x + 2 = 0;\]

\[D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9,\] тогда:

\[x_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2},\ x_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2.\]

Ответ: \(a = 4;\ x_1 = \frac{1}{2};\ x_2 = 2.\)

Задано уравнение:

\(4x^4 — 12x^3 + 13x^2 — 12x + a = 0;\)

Подставим \(x = 2\) в уравнение:

\( P(2) = 64 — 96 + 52 — 24 + a = 0;\)

Упростим:

\( a — 4 = 0, \quad a = 4.\)

1) Другие корни уравнения для \(a = 4\):

\(4x^4 — 12x^3 + 13x^2 — 12x + 4 = 0;\)

Перепишем уравнение в виде:

\(4x^2 — 12x + 13 — \frac{12}{x} + \frac{4}{x^2} = 0;\)

Теперь введем замену: \( y = x + \frac{1}{x}, \) и получим:

\(4\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) — 12\left(x + \frac{1}{x}\right) + 13 = 0;\)

Приведем уравнение к следующему виду:

\(4\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 — 12\left(x + \frac{1}{x}\right) + 5 = 0.\)

2) Пусть \( y = x + \frac{1}{x}, \) тогда:

\(4y^2 — 12y + 5 = 0;\)

Решим уравнение для \(y\):

Дискриминант: \(D = 12^2 — 4 \cdot 4 \cdot 5 = 144 — 80 = 64,\)

Корни уравнения:

\(y_1 = \frac{12 — 8}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{12 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}.\)

3) Первое значение \(x + \frac{1}{x} = \frac{1}{2};\)

Решаем уравнение:

\(2x^2 — x + 2 = 0;\)

Дискриминант: \(D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 < 0.\)

Таким образом, нет решений для этого значения.

4) Второе значение \(x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2};\)

Решаем уравнение:

\(2x^2 — 5x + 2 = 0;\)

Дискриминант: \(D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9,\)

Корни уравнения:

\(x_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2.\)

Ответ: \(a = 4;\ x_1 = \frac{1}{2};\ x_2 = 2.\)