ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 225 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите симметрическое уравнение:

a) ${}^{}$$x^4 — 5x^3 + 6x^2 — 5x + 1 = 0$;

б) ${}^{}$$x^4 + 3x^3 — 8x^2 + 3x + 1 = 0$;

в) $\mathrm{}$$4x^4 — 8x^3 — 37x^2 — 8x + 4 = 0$;

г) ${}^{}$$x^4 — x^3 + x^2 — x + 1 = 0$

Решить уравнение:

a) ${}^{}$$x^4 — 5x^3 + 6x^2 — 5x + 1 = 0$;
$x^2 — 5x + 6 — \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$;
$\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) — 5\left(x + \frac{1}{x}\right) + 6 = 0$;
$\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 — 5\left(x + \frac{1}{x}\right) + 4 = 0$;

Пусть $y = x + \frac{1}{x}$, тогда:
$y^2 — 5y + 4 = 0$;
$D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9$, тогда:
$y_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1$ и $y_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4$;

Первое значение:
$x + \frac{1}{x} = 1$;
$x^2 — x + 1 = 0$;
$D = 1^2 — 4 \cdot 1 = 1 — 4 = -3 < 0$;

Второе значение:
$x + \frac{1}{x} = 4$;
$x^2 — 4x + 1 = 0$;
$D = 4^2 — 4 \cdot 1 = 16 — 4 = 12$, тогда:
$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$;

Ответ: $2 \pm \sqrt{3}$.

б) ${}^{}$$x^4 + 3x^3 — 8x^2 + 3x + 1 = 0$;
$x^2 + 3x — 8 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$;
$\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + 3\left(x + \frac{1}{x}\right) — 8 = 0$;
$\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 + 3\left(x + \frac{1}{x}\right) — 10 = 0$;

Пусть $y = x + \frac{1}{x}$, тогда:
$y^2 + 3y — 10 = 0$;
$D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49$, тогда:
$y_1 = \frac{-3 — 7}{2} = -5$ и $y_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2$;

Первое значение:
$x + \frac{1}{x} = -5$;
$x^2 + 5x + 1 = 0$;
$D = 5^2 — 4 \cdot 1 = 25 — 4 = 21$, тогда:
$x_1 = \frac{-5 — \sqrt{21}}{2}$, $x_2 = \frac{-5 + \sqrt{21}}{2}$;

Второе значение:
$x + \frac{1}{x} = 2$;
$x^2 — 2x + 1 = 0$;
$(x — 1)^2 = 0$;
$x — 1 = 0$, $x = 1$;

Ответ: $1; \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$.

в) $\mathrm{}$$4x^4 — 8x^3 — 37x^2 — 8x + 4 = 0$;
$4x^2 — 8x — 37 — \frac{8}{x} + \frac{4}{x^2} = 0$;
$4\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) — 8\left(x + \frac{1}{x}\right) — 37 = 0$;
$4\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 — 8\left(x + \frac{1}{x}\right) — 45 = 0$;

Пусть $y = x + \frac{1}{x}$, тогда:
$4y^2 — 8y — 45 = 0$;
$D = 8^2 + 4 \cdot 4 \cdot 45 = 64 + 720 = 784$, тогда:
$y_1 = \frac{8 — 28}{2 \cdot 4} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2}$,
$y_2 = \frac{8 + 28}{2 \cdot 4} = \frac{36}{8} = \frac{9}{2}$;

Первое значение:
$x + \frac{1}{x} = -\frac{5}{2}$;
$2x^2 + 5x + 2 = 0$;
$D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9$, тогда:
$x_1 = \frac{-5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$,
$x_2 = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0,5$;

Второе значение:
$x + \frac{1}{x} = \frac{9}{2}$;
$2x^2 — 9x + 2 = 0$;
$D = 9^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 81 — 16 = 65$, тогда:
$x_1 = \frac{9 — \sqrt{65}}{4}$,
$x_2 = \frac{9 + \sqrt{65}}{4}$;

Ответ: $-2; -0{,}5; \frac{9 \pm \sqrt{65}}{4}$.

г) ${}^{}$$x^4 — x^3 + x^2 — x + 1 = 0$;
$x^2 — x + 1 — \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$;
$\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) — \left(x + \frac{1}{x}\right) + 1 = 0$;
$\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 — \left(x + \frac{1}{x}\right) — 1 = 0$;

Пусть $y = x + \frac{1}{x}$, тогда:
$y^2 — y — 1 = 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 1 = 5$, тогда:
$x_1 = \frac{1 — \sqrt{5}}{2}$,
$x_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$;

Первое значение:
$x + \frac{1}{x} \geq 2, \quad x \geq 0$;
$x^2 — 2x + 1 \geq 0$;
$(x — 1)^2 \geq 0$;

Второе значение:
$x + \frac{1}{x} \leq -2, \quad x \leq 0$;
$x^2 + 2x + 1 \geq 0$;
$(x + 1)^2 \geq 0$;

Ответ: корней нет.

Решить уравнение:

а) $x^4 — 5x^3 + 6x^2 — 5x + 1 = 0$

Шаг 1. Заметим структуру

Многочлен симметричный:

$$x^4 — 5x^3 + 6x^2 — 5x + 1$$

— коэффициенты зеркальные: $1, -5, 6, -5, 1$.

Используем замену:

$$x + \frac{1}{x} = y$$

Шаг 2. Разделим обе части на $x^2$

$$\frac{x^4}{x^2} — \frac{5x^3}{x^2} + \frac{6x^2}{x^2} — \frac{5x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = 0$$ $$x^2 — 5x + 6 — \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$$

Шаг 3. Группируем

$$\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) — 5\left(x + \frac{1}{x}\right) + 6 = 0$$

Шаг 4. Вспомним формулу квадрата суммы:

$$\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} \Rightarrow x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 — 2$$

Подставим в выражение:

$$\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 — 2 — 5\left(x + \frac{1}{x}\right) + 6 = 0$$ $$\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 — 5\left(x + \frac{1}{x}\right) + 4 = 0$$

Шаг 5. Обозначим $y = x + \frac{1}{x}$

Тогда уравнение:

$$y^2 — 5y + 4 = 0$$

Решим:

$$D = 25 — 16 = 9$$ $$y_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4$$

Шаг 6. Решим для каждого значения $y$

1) $x + \frac{1}{x} = 1$

Умножим обе части на $x$:

$$x^2 + 1 = x \Rightarrow x^2 — x + 1 = 0$$ $$D = 1^2 — 4 = -3 < 0 \Rightarrow \text{Нет действительных решений}$$

2) $x + \frac{1}{x} = 4$

$$x^2 — 4x + 1 = 0$$ $$D = 16 — 4 = 12 \Rightarrow x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$$

Ответ к а):

$$\boxed{x = 2 \pm \sqrt{3}}$$

б) $x^4 + 3x^3 — 8x^2 + 3x + 1 = 0$

Шаг 1. Многочлен снова симметричный:

Коэффициенты: $1, 3, -8, 3, 1$

Разделим на $x^2$:

$$x^2 + 3x — 8 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$$ $$\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + 3\left(x + \frac{1}{x}\right) — 8 = 0$$ $$\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 + 3\left(x + \frac{1}{x}\right) — 10 = 0$$

Шаг 2. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$

$$y^2 + 3y — 10 = 0$$ $$D = 9 + 40 = 49 \Rightarrow y_1 = \frac{-3 — 7}{2} = -5, \quad y_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2$$

Шаг 3. Найдём $x$ при каждом $y$

1) $x + \frac{1}{x} = -5$

$$x^2 + 5x + 1 = 0 \Rightarrow D = 25 — 4 = 21 \Rightarrow x = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$$

2) $x + \frac{1}{x} = 2$

$$x^2 — 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x — 1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1$$

Ответ к б):

$$\boxed{x = 1; \quad \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}}$$

в) $4x^4 — 8x^3 — 37x^2 — 8x + 4 = 0$

Шаг 1. Симметричный многочлен

Разделим на $x^2$:

$$4x^2 — 8x — 37 — \frac{8}{x} + \frac{4}{x^2} = 0$$ $$4\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) — 8\left(x + \frac{1}{x}\right) — 37 = 0$$ $$4\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 — 8\left(x + \frac{1}{x}\right) — 45 = 0$$

Шаг 2. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$

$$4y^2 — 8y — 45 = 0$$ $$D = 64 + 720 = 784 \Rightarrow \sqrt{784} = 28$$ $$y_1 = \frac{8 + 28}{8} = \frac{36}{8} = \frac{9}{2}, \quad y_2 = \frac{8 — 28}{8} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2}$$

Шаг 3. Найдём $x$

1) $x + \frac{1}{x} = -\frac{5}{2}$

$$2x^2 + 5x + 2 = 0 \Rightarrow D = 25 — 16 = 9 \Rightarrow x = \frac{-5 \pm 3}{4} = \left\{ -2, -0.5 \right\}$$

2) $x + \frac{1}{x} = \frac{9}{2}$

$$2x^2 — 9x + 2 = 0 \Rightarrow D = 81 — 16 = 65 \Rightarrow x = \frac{9 \pm \sqrt{65}}{4}$$

Ответ к в):

$$\boxed{x = -2; \; -0{,}5; \; \frac{9 \pm \sqrt{65}}{4}}$$

г) $x^4 — x^3 + x^2 — x + 1 = 0$

Шаг 1. Симметричный многочлен

Разделим на $x^2$:

$$x^2 — x + 1 — \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$$ $$\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) — \left(x + \frac{1}{x}\right) + 1 = 0$$ $$\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 — \left(x + \frac{1}{x}\right) — 1 = 0$$

Шаг 2. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$

$$y^2 — y — 1 = 0$$ $$D = 1 + 4 = 5 \Rightarrow y_1 = \frac{1 — \sqrt{5}}{2}, \quad y_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$

Шаг 3. Можно ли решить $x + \frac{1}{x} = y$?

Вспомним: по неравенству:

$$x + \frac{1}{x} \geq 2 \text{ при } x > 0 \\ x + \frac{1}{x} \leq -2 \text{ при } x < 0$$

Но корни:

• $\frac{1 — \sqrt{5}}{2} \approx -0.618$ — не $\leq -2$
• $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$ — не $\geq 2$

Значит, ни один корень $y$ не может быть выражен в виде суммы $x + \frac{1}{x}$ с действительным $x$

Ответ к г):

$$\boxed{{\displaystyle \text{Корней нет}}}$$