ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 225 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите симметрическое уравнение:

а) x^4-5x^3+6x^2-5x+1=0;

б) x^4+3x^3-8x^2+3x+1=0;

в) 4x^4-8x^3-37x^2-8x+4=0;

г) x^4-x^3+x^2-x+1=0.

a)
\[x^4 — 5x^3 + 6x^2 — 5x + 1 = 0;\]

\[x^2 — 5x + 6 — \frac{5}{x} — \frac{1}{x^2} = 0;\]

\[\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) — 5\left(x + \frac{1}{x}\right) + 6 = 0;\]

\[\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 — 5\left(x + \frac{1}{x}\right) + 4 = 0.\]

Пусть \[y = x + \frac{1}{x},\] тогда:
\[y^2 — 5y + 4 = 0;\]

\[D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9,\] тогда:

\[y_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1,\ y_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4.\]

Первое значение:
\[x + \frac{1}{x} = 1;\]

\[x^2 — x + 1 = 0;\]

\[D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 < 0.\]

Второе значение:
\[x + \frac{1}{x} = 4;\]

\[x^2 — 4x + 1 = 0;\]

\[D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 — 4 = 12,\] тогда:

\[x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}.\]

Ответ: \(2 + \sqrt{3}.\)

б)
\[x^4 + 3x^3 — 8x^2 + 3x + 1 = 0;\]

\[x^2 + 3x — 8 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2} = 0;\]

\[\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + 3\left(x + \frac{1}{x}\right) — 8 = 0;\]

\[\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 + 3\left(x + \frac{1}{x}\right) — 10 = 0.\]

Пусть \[y = x + \frac{1}{x},\] тогда:
\[y^2 + 3y — 10 = 0;\]

\[D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49,\] тогда:

\[y_1 = \frac{-3 — 7}{2} = -5,\ y_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2.\]

Первое значение:
\[x + \frac{1}{x} = -5;\]

\[x^2 + 5x + 1 = 0;\]

\[D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 — 4 = 21,\] тогда:

\[x_1 = \frac{-5 — \sqrt{21}}{2},\ x_2 = \frac{-5 + \sqrt{21}}{2}.\]

Второе значение:
\[x + \frac{1}{x} = 2;\]

\[x^2 — 2x + 1 = 0;\]

\[x — 1 = 0,\ x = 1.\]

Ответ: \(1;\ -\frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}.\)

в)
\[4x^4 — 8x^3 — 37x^2 — 8x + 4 = 0;\]

\[4x^2 — 8x — 37 — \frac{8}{x} + \frac{4}{x^2} = 0;\]

\[4\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) — 8\left(x + \frac{1}{x}\right) — 37 = 0;\]

\[4\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 — 8\left(x + \frac{1}{x}\right) — 45 = 0.\]

Пусть \[y = x + \frac{1}{x},\] тогда:
\[4y^2 — 8y — 45 = 0;\]

\[D = 8^2 + 4 \cdot 4 \cdot 45 = 64 + 720 = 784,\] тогда:

\[y_1 = \frac{8 — 28}{8} = -2.5,\ y_2 = \frac{8 + 28}{8} = 4.5.\]

Первое значение:
\[x + \frac{1}{x} = -2.5;\]

\[2x^2 + 5x + 2 = 0;\]

\[D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9,\] тогда:

\[x_1 = -2,\ x_2 = -0.5.\]

Второе значение:
\[x + \frac{1}{x} = 4.5;\]

\[2x^2 — 9x + 2 = 0;\]

\[D = 9^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 65,\] тогда:

\[x_1 = \frac{9 — \sqrt{65}}{4},\ x_2 = \frac{9 + \sqrt{65}}{4}.\]

Ответ: \(-2;\ -0.5;\ \frac{9 \pm \sqrt{65}}{4}.\)

г)
\[x^4 — x^3 + x^2 — x + 1 = 0;\]

\[x^2 — x + 1 — \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 0;\]

\[\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) — \left(x + \frac{1}{x}\right) + 1 = 0;\]

\[\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 — \left(x + \frac{1}{x}\right) — 1 = 0.\]

Пусть \[y = x + \frac{1}{x},\] тогда:
\[y^2 — y — 1 = 0;\]

\[D = 1^2 + 4 \cdot 1 = 5,\] тогда:

\[y_1 = \frac{1 — \sqrt{5}}{2},\ y_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}.\]

Первое значение:
\[x + \frac{1}{x} \geq 2,\ x \geq 0;\]

\[x^2 — 2x + 1 \geq 0;\ (x — 1)^2 \geq 0.\]

Второе значение:
\[x + \frac{1}{x} \leq -2,\ x \leq 0;\]

\[x^2 + 2x + 1 \geq 0;\ (x + 1)^2 \geq 0.\]

Ответ: корней нет.

а) Найдем корни уравнения \(x^4 — 5x^3 + 6x^2 — 5x + 1 = 0;\)

Перепишем уравнение:

\(x^2 — 5x + 6 — \frac{5}{x} — \frac{1}{x^2} = 0;\)

Приведем к следующей форме:

\( \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) — 5\left(x + \frac{1}{x}\right) + 6 = 0;\)

Теперь введем замену \(y = x + \frac{1}{x}\), получим:

\( \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 — 5\left(x + \frac{1}{x}\right) + 4 = 0. \)

Решим полученное уравнение для \(y\):

\( y^2 — 5y + 4 = 0;\)

Дискриминант: \(D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9\);

Корни уравнения:

\(y_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1,\ y_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4.\)

Первое значение \(x + \frac{1}{x} = 1;\)

\(x^2 — x + 1 = 0;\)

Дискриминант: \(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 < 0\), нет корней.

Второе значение \(x + \frac{1}{x} = 4;\)

\(x^2 — 4x + 1 = 0;\)

Дискриминант: \(D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 — 4 = 12\);

Корни уравнения:

\(x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}.\)

Ответ: \(2 + \sqrt{3}.\)

б) Найдем корни уравнения \(x^4 + 3x^3 — 8x^2 + 3x + 1 = 0;\)

Перепишем уравнение:

\(x^2 + 3x — 8 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2} = 0;\)

Приведем к следующей форме:

\( \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + 3\left(x + \frac{1}{x}\right) — 8 = 0;\)

Теперь введем замену \(y = x + \frac{1}{x}\), получим:

\( \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 + 3\left(x + \frac{1}{x}\right) — 10 = 0. \)

Решим полученное уравнение для \(y\):

\( y^2 + 3y — 10 = 0;\)

Дискриминант: \(D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49\);

Корни уравнения:

\(y_1 = \frac{-3 — 7}{2} = -5,\ y_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2.\)

Первое значение \(x + \frac{1}{x} = -5;\)

\(x^2 + 5x + 1 = 0;\)

Дискриминант: \(D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 — 4 = 21\);

Корни уравнения:

\(x_1 = \frac{-5 — \sqrt{21}}{2},\ x_2 = \frac{-5 + \sqrt{21}}{2}.\)

Второе значение \(x + \frac{1}{x} = 2;\)

\(x^2 — 2x + 1 = 0;\)

Корень уравнения:

\(x = 1.\)

Ответ: \(1;\ -\frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}.\)

в) Найдем корни уравнения \(4x^4 — 8x^3 — 37x^2 — 8x + 4 = 0;\)

Перепишем уравнение:

\(4x^2 — 8x — 37 — \frac{8}{x} + \frac{4}{x^2} = 0;\)

Приведем к следующей форме:

\(4\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) — 8\left(x + \frac{1}{x}\right) — 37 = 0;\)

Теперь введем замену \(y = x + \frac{1}{x}\), получим:

\(4y^2 — 8y — 45 = 0.\)

Решим полученное уравнение для \(y\):

Дискриминант: \(D = 8^2 + 4 \cdot 4 \cdot 45 = 64 + 720 = 784\);

Корни уравнения:

\(y_1 = \frac{8 — 28}{8} = -2.5,\ y_2 = \frac{8 + 28}{8} = 4.5.\)

Первое значение \(x + \frac{1}{x} = -2.5;\)

\(2x^2 + 5x + 2 = 0;\)

Дискриминант: \(D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9\);

Корни уравнения:

\(x_1 = -2,\ x_2 = -0.5.\)

Второе значение \(x + \frac{1}{x} = 4.5;\)

\(2x^2 — 9x + 2 = 0;\)

Дискриминант: \(D = 9^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 65\);

Корни уравнения:

\(x_1 = \frac{9 — \sqrt{65}}{4},\ x_2 = \frac{9 + \sqrt{65}}{4}.\)

Ответ: \(-2;\ -0.5;\ \frac{9 \pm \sqrt{65}}{4}.\)

г) Найдем корни уравнения \(x^4 — x^3 + x^2 — x + 1 = 0;\)

Перепишем уравнение:

\(x^2 — x + 1 — \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 0;\)

Приведем к следующей форме:

\(\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) — \left(x + \frac{1}{x}\right) + 1 = 0;\)

Теперь введем замену \(y = x + \frac{1}{x}\), получим:

\(y^2 — y — 1 = 0;\)

Дискриминант: \(D = 1^2 + 4 \cdot 1 = 5\);

Корни уравнения:

\(y_1 = \frac{1 — \sqrt{5}}{2},\ y_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}.\)

Первое значение \(x + \frac{1}{x} \geq 2,\ x \geq 0;\)

\(x^2 — 2x + 1 \geq 0;\ (x — 1)^2 \geq 0.\)

Второе значение \(x + \frac{1}{x} \leq -2,\ x \leq 0;\)

\(x^2 + 2x + 1 \geq 0;\ (x + 1)^2 \geq 0.\)

Ответ: корней нет.