ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 224 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что симметрическое уравнение нечётной степени имеет корень —1.

Дано симметрическое уравнение:
\[a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_{n-1}x + a_n = 0,\ n = 2k — 1;\]

\[P(-1) = -a_n + a_{n-1} — a_{n-2} + \ldots + a_{n-2} — a_{n-1} + a_n = 0;\]

Что и требовалось доказать.

Дано симметричное уравнение:

\( a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_{n-1}x + a_n = 0, \quad n = 2k — 1; \)

Теперь подставим \(x = -1\) в это уравнение:

\( P(-1) = a_n(-1)^n + a_{n-1}(-1)^{n-1} + \ldots + a_{n-1}(-1) + a_n = 0; \)

Так как \(n = 2k — 1\) (нечетное число), то степенная последовательность при подстановке \(x = -1\) будет чередоваться со знаками:

\( P(-1) = -a_n + a_{n-1} — a_{n-2} + \ldots + a_{n-2} — a_{n-1} + a_n = 0; \)

Что и требовалось доказать.